자연계열 (오후) 2번

▶ $\displaystyle f(x)=\frac14x^2-1$이라 하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac12x$이다.점 $\displaystyle A(2,0)$에서 접선의 기울기는 $\displaystyle f^{\prime}(2)=1$이므로 접선에 수직인 직선의 기울기는 $\displaystyle -1$이다. 따라서 점 $\displaystyle A(2,0)$을 지나고 기울기가 $\displaystyle -1$인 직선의 방정식은 $\displaystyle y-0=-1(x-2)$이고, 이를 정리하면 $\displaystyle y=-x+2$이다.

▶ 곡선 $\displaystyle y=-x^2+a$와 직선 $\displaystyle l$이 $\displaystyle x=b$일 때 접한다고 하자. $\displaystyle g(x)=-x^2+a$라 하면 $\displaystyle g^{\prime}(x)=-2x$이고, 직선 $\displaystyle l$의 기울기는 $\displaystyle -1$이므로 $\displaystyle g^{\prime}(b)=-2b=-1$이 성립한다. 따라서 $\displaystyle b$에 대한 방정식을 풀면 $\displaystyle b=\frac12$이다.$\displaystyle x=\frac12$일때 $\displaystyle y=-x^2+a$와 직선 $\displaystyle l$이 만나므로 $\displaystyle -\left(\frac12\right)^2+a=-\frac12+2$가 성립한다.$\displaystyle a$에 대한 방정식을 풀면 $\displaystyle a=\frac74$이다.

▶ 그림으로부터 도형의 넓이를 구하면$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{\frac12}\left(-x+2+x^2-\frac74\right)dx&=\Biggl[-\frac12x^2+\frac13x^3+\frac14x\Biggr]_0^{\frac12}\\&=-\frac12\left(\frac12\right)^2+\frac13\left(\frac12\right)^3+\frac14\times\frac12=\frac1{24}\end{aligned}$이다.