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자연계열 (오후) 2번

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한국기술교육대 2020학년도 수시 자연계열 (오후) 2번 · mathesis.kr/archive/koreatech/2020su/jayeon_pm_2

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문제

【(1)~(3)】그림과 같이 점 A(2,0)\displaystyle A(2,0)을 지나는 직선 l\displaystyle l은 곡선 y=14x2−1\displaystyle y=\frac14x^2-1 위의 점 A\displaystyle A에서의 접선과 수직이다. 또 다른 곡선 y=−x2+a\displaystyle y=-x^2+a가 직선 l\displaystyle l에 접할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, a\displaystyle a는 상수이다.)

두 포물선과 직선 l 및 구할 영역의 확대 그림

(1) 직선 l\displaystyle l의 방정식을 구하여라. (5점)

(2) 상수 a\displaystyle a의 값을 구하여라. (5점)

(3) 문제 (2)에서 구한 a\displaystyle a에 대하여 곡선 y=−x2+a\displaystyle y=-x^2+a와 y\displaystyle y축 및 직선 l\displaystyle l로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라. (10점)

해설강의 준비중

한국기술교육대 2020학년도 수시 자연계열 (오후) 2번 · mathesis.kr/archive/koreatech/2020su/jayeon_pm_2

(1) 직선 l\displaystyle l의 방정식을 구하여라. (5점)

+5점 · y=−x+2\displaystyle y=-x+2를 구할 수 있다.

▶ f(x)=14x2−1\displaystyle f(x)=\frac14x^2-1이라 하면 f′(x)=12x\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac12x이다.점 A(2,0)\displaystyle A(2,0)에서 접선의 기울기는 f′(2)=1\displaystyle f^{\prime}(2)=1이므로 접선에 수직인 직선의 기울기는 −1\displaystyle -1이다. 따라서 점 A(2,0)\displaystyle A(2,0)을 지나고 기울기가 −1\displaystyle -1인 직선의 방정식은 y−0=−1(x−2)\displaystyle y-0=-1(x-2)이고, 이를 정리하면 y=−x+2\displaystyle y=-x+2이다.

(2) 상수 a\displaystyle a의 값을 구하여라. (5점)

+5점 · a=74\displaystyle a=\frac74을 구할 수 있다.

▶ 곡선 y=−x2+a\displaystyle y=-x^2+a와 직선 l\displaystyle l이 x=b\displaystyle x=b일 때 접한다고 하자. g(x)=−x2+a\displaystyle g(x)=-x^2+a라 하면 g′(x)=−2x\displaystyle g^{\prime}(x)=-2x이고, 직선 l\displaystyle l의 기울기는 −1\displaystyle -1이므로 g′(b)=−2b=−1\displaystyle g^{\prime}(b)=-2b=-1이 성립한다. 따라서 b\displaystyle b에 대한 방정식을 풀면 b=12\displaystyle b=\frac12이다.x=12\displaystyle x=\frac12일때 y=−x2+a\displaystyle y=-x^2+a와 직선 l\displaystyle l이 만나므로 −(12)2+a=−12+2\displaystyle -\left(\frac12\right)^2+a=-\frac12+2가 성립한다.a\displaystyle a에 대한 방정식을 풀면 a=74\displaystyle a=\frac74이다.

(3) 문제 (2)에서 구한 a\displaystyle a에 대하여 곡선 y=−x2+a\displaystyle y=-x^2+a와 y\displaystyle y축 및 직선 l\displaystyle l로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라. (10점)

+5점 · 도형의 넓이를 ∫012(−x+2+x2−74)dx\displaystyle \int_0^{\frac12}\left(-x+2+x^2-\frac74\right)dx로 나타낼 수 있다.
+5점 · 적분값 124\displaystyle \frac1{24}을 구할 수 있다.

▶ 그림으로부터 도형의 넓이를 구하면∫012(−x+2+x2−74)dx=[−12x2+13x3+14x]012=−12(12)2+13(12)3+14×12=124\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{\frac12}\left(-x+2+x^2-\frac74\right)dx&=\Biggl[-\frac12x^2+\frac13x^3+\frac14x\Biggr]_0^{\frac12}\\&=-\frac12\left(\frac12\right)^2+\frac13\left(\frac12\right)^3+\frac14\times\frac12=\frac1{24}\end{aligned}이다.

[별해] 판별식을 이용하여 답을 구한 경우도 점수를 부여한다.

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