자연계열 1번

〈논제 1-1〉$\displaystyle \alpha=\frac{\alpha+\beta}2+\frac{\alpha-\beta}2$, $\displaystyle \beta=\frac{\alpha+\beta}2-\frac{\alpha-\beta}2$이므로$\displaystyle \sin\alpha=\sin\left(\frac{\alpha+\beta}2+\frac{\alpha-\beta}2\right)=\sin\left(\frac{\alpha+\beta}2\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}2\right)+\sin\left(\frac{\alpha-\beta}2\right)\cos\left(\frac{\alpha+\beta}2\right)$$\displaystyle \sin\beta=\sin\left(\frac{\alpha+\beta}2-\frac{\alpha-\beta}2\right)=\sin\left(\frac{\alpha+\beta}2\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}2\right)-\sin\left(\frac{\alpha-\beta}2\right)\cos\left(\frac{\alpha+\beta}2\right)$이다. 그러므로 $\displaystyle \sin\alpha-\sin\beta=2\sin\left(\frac{\alpha-\beta}2\right)\cos\left(\frac{\alpha+\beta}2\right)$이 성립한다.

〈논제 1-2〉

위의 그림과 같이 반지름 1인 원을 하나 그리고, 중심을 $\displaystyle \mathrm O$라 하자. 원주 위의 두 점 $\displaystyle \mathrm{A,B}$를 중심각이 $\displaystyle \angle\mathrm{AOB}=x$가 되도록 잡고, $\displaystyle \mathrm A$를 지나는 원의 접선과 직선 $\displaystyle \overleftrightarrow{\mathrm{OB}}$가 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm C$라고 하자. 분명히 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$의 면적은 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{OAB}$의 면적보다 작고, 또 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{OAB}$의 면적은 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAC}$의 면적보다 작다. 한편 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$의 면적은 $\displaystyle \frac12|\sin x|$, 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{OAB}$의 면적은 $\displaystyle \frac12|x|$, 그리고 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAC}$의 면적은 $\displaystyle \frac12|\tan x|$이다. 그러므로 부등식 $\displaystyle |\sin x|<|x|<|\tan x|$이 성립한다.

〈논제 1-3〉주어진 범위의 $\displaystyle x$값에 대하여 $\displaystyle x,\sin x,\tan x$의 부호가 모두 같으므로 $\displaystyle 1<\frac x{\sin x}<\frac1{\cos x}$이고, 역수를 취하면 $\displaystyle \cos x<\frac{\sin x}x<1$이다. 그러므로 $\displaystyle 1=\lim_{x\to0}\cos x\le\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x\le1$이 되어 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1$이다.

〈논제 1-4〉도함수의 정의에 의하여 $\displaystyle (\sin x)^{\prime}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}$이다. 한편$\displaystyle \sin(x+\Delta x)-\sin x=2\sin\left(\frac{\Delta x}2\right)\cos\left(x+\frac{\Delta x}2\right)$이므로, 위의 부등식을 적용하면$\displaystyle \begin{aligned}(\sin x)^{\prime}&=\lim_{\Delta x\to0}\frac2{\Delta x}\sin\left(\frac{\Delta x}2\right)\cos\left(x+\frac{\Delta x}2\right)\\&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\sin\left(\frac{\Delta x}2\right)}{\frac{\Delta x}2}\lim_{\Delta x\to0}\cos\left(x+\frac{\Delta x}2\right)=1\cdot\cos x=\cos x\end{aligned}$이다.