수학과학우수자 2번

〈논제 2-1〉주어진 구간에서 미분가능인 두 함수 $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$에 대하여$\displaystyle \{f(x)g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)$이 성립하므로$\displaystyle \int_a^b\{f(x)g(x)\}^{\prime}dx=\int_a^b\{f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\}dx$이다.

〈논제 2-2〉$\displaystyle (\sin x)^{\prime}=\cos x$이므로, 정수 $\displaystyle n\ge1$에 대하여 $\displaystyle f(x)=(\cos x)^{n-1}$, $\displaystyle g(x)=\sin x$라 두면,$\displaystyle \int_0^{\pi}f(x)g^{\prime}(x)dx=\int_0^{\pi}(\cos x)^{n-1}(\sin x)^{\prime}dx=I_n$이다.

〈논제 2-3〉$\displaystyle n\ge2$일 때$\displaystyle \begin{aligned}I_n&=\int_0^{\pi}(\cos x)^n dx=\int_0^{\pi}(\cos x)^{n-1}(\sin x)^{\prime}dx\\&=\Biggl[(\cos x)^{n-1}\sin x\Biggr]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}\{-(n-1)(\cos x)^{n-2}(\sin x)^2\}dx\\&=(n-1)\int_0^{\pi}\{(\cos x)^{n-2}-(\cos x)^n\}dx=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n\end{aligned}$이고 정리하면 $\displaystyle I_n=\frac{n-1}n I_{n-2}$을 얻게 된다.

〈논제 2-4〉위의 3번 관계식을 반복해서 적용하면 $\displaystyle I_8=\frac78\cdot\frac56\cdot\frac34\cdot\frac12 I_0=\frac{35}{128}I_0$이다.

〈논제 2-5〉역시 3번 문제의 관계식을 반복해서 이용하면$\displaystyle I_{81}=\frac{80}{81}\cdot\frac{78}{79}\cdots\frac45\cdot\frac23 I_1$이다. 한편 $\displaystyle I_1=\int_0^{\pi}\cos xdx=0$이므로 $\displaystyle I_{81}=0$이다.