수리논술, 이게 다다.

수학과학우수자 2번

오류 제보

부산대 2014학년도 모의 수학과학우수자 2번 · mathesis.kr/archive/pusan/2014mo/mathscience_2

이전 문제
배점60점
예상 소요 시간미공개
다음 문제

문제

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가] 부분적분법은 적분을 계산하는 중요하고 유용한 방법 중의 하나다. 실수 닫힌구간 a≤x≤b\displaystyle a\le x\le b에서 연속이고 열린구간 a<x<b\displaystyle a<x<b에서 미분가능인 두 함수 f(x)\displaystyle f(x)와 g(x)\displaystyle g(x)에 대하여 ∫abf(x)g′(x)dx={f(b)g(b)−f(a)g(a)}−∫abf′(x)g(x)dx\displaystyle \int_a^bf(x)g^{\prime}(x)dx=\{f(b)g(b)-f(a)g(a)\}-\int_a^bf^{\prime}(x)g(x)dx이 성립한다는 것이 부분적분법의 내용이다.

[나] 삼각함수는 수학에서 중요한 함수로, 대단히 넓은 범위에까지 활용되고 있다.이제 정수 n≥0\displaystyle n\ge0에 대하여 In=∫0π(cos⁡x)ndx\displaystyle I_n=\int_0^{\pi}(\cos x)^n dx (n≥0\displaystyle n\ge0)라 두고 수학적 귀납법과 부분적분을 이용하여 In\displaystyle I_n의 값을 계산해보자.

1.부분적분법이 성립하는 이유를 설명하시오. (10점)

2.정수 n≥1\displaystyle n\ge1에 대하여 f(x)=(cos⁡x)n−1\displaystyle f(x)=(\cos x)^{n-1}, g(x)=sin⁡x\displaystyle g(x)=\sin x라 두면 In=∫0πf(x)g′(x)dx\displaystyle I_n=\int_0^{\pi}f(x)g^{\prime}(x)dx이 됨을 설명하시오.(5점)

3.정수 n≥2\displaystyle n\ge2에 대하여, In=n−1nIn−2\displaystyle I_n=\frac{n-1}n I_{n-2}이 성림함을 증명하시오. (15점)Correction. “성림함”은 “성립함”의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

4.I8=∫0π(cos⁡x)8dx\displaystyle I_8=\int_0^{\pi}(\cos x)^8 dx를 계산하시오.(15점)

5.I81=∫0π(cos⁡x)81dx\displaystyle I_{81}=\int_0^{\pi}(\cos x)^{81}dx를 계산하시오. (15점)

해설강의 준비중

부산대 2014학년도 모의 수학과학우수자 2번 · mathesis.kr/archive/pusan/2014mo/mathscience_2

+10점 · 제시문 [가]에서 언급한 부분적분법이 성립하는 이유를 적절하게 설명하였는가

1.주어진 구간에서 미분가능인 두 함수 f(x)\displaystyle f(x)와 g(x)\displaystyle g(x)에 대하여{f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\displaystyle \{f(x)g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)이 성립하므로∫ab{f(x)g(x)}′dx=∫ab{f′(x)g(x)+f(x)g′(x)}dx\displaystyle \int_a^b\{f(x)g(x)\}^{\prime}dx=\int_a^b\{f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\}dx이다.

한편 ∫ab{f(x)g(x)}′dx=f(b)g(b)−f(a)g(a)\displaystyle \int_a^b\{f(x)g(x)\}^{\prime}dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)이고∫ab{f′(x)g(x)+f(x)g′(x)}dx=∫abf′(x)g(x)dx+∫abf(x)g′(x)dx\displaystyle \int_a^b\{f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\}dx=\int_a^bf^{\prime}(x)g(x)dx+\int_a^bf(x)g^{\prime}(x)dx이므로 정리하면 ∫abf(x)g′(x)dx={f(b)g(b)−f(a)g(a)}−∫abf′(x)g(x)dx\displaystyle \int_a^bf(x)g^{\prime}(x)dx=\{f(b)g(b)-f(a)g(a)\}-\int_a^bf^{\prime}(x)g(x)dx을 얻는다.

+5점 · 제시문 [나]의 물음을 해결하기 위한 첫 과정으로 부분적분법을 사용할 수 있게 함수를 변형하여 계산하였는가

2.(sin⁡x)′=cos⁡x\displaystyle (\sin x)^{\prime}=\cos x이므로, 정수 n≥1\displaystyle n\ge1에 대하여 f(x)=(cos⁡x)n−1\displaystyle f(x)=(\cos x)^{n-1}, g(x)=sin⁡x\displaystyle g(x)=\sin x라 두면,∫0πf(x)g′(x)dx=∫0π(cos⁡x)n−1(sin⁡x)′dx=In\displaystyle \int_0^{\pi}f(x)g^{\prime}(x)dx=\int_0^{\pi}(\cos x)^{n-1}(\sin x)^{\prime}dx=I_n이다.

+15점 · 제시문 [나]의 물음을 해결하기 위해 점화식을 제시하고, 이를 증명하였는가

3.n≥2\displaystyle n\ge2일 때In=∫0π(cos⁡x)ndx=∫0π(cos⁡x)n−1(sin⁡x)′dx=[(cos⁡x)n−1sin⁡x]0π−∫0π{−(n−1)(cos⁡x)n−2(sin⁡x)2}dx=(n−1)∫0π{(cos⁡x)n−2−(cos⁡x)n}dx=(n−1)In−2−(n−1)In\displaystyle \begin{aligned}I_n&=\int_0^{\pi}(\cos x)^n dx=\int_0^{\pi}(\cos x)^{n-1}(\sin x)^{\prime}dx\\&=\Biggl[(\cos x)^{n-1}\sin x\Biggr]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}\{-(n-1)(\cos x)^{n-2}(\sin x)^2\}dx\\&=(n-1)\int_0^{\pi}\{(\cos x)^{n-2}-(\cos x)^n\}dx=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n\end{aligned}이고 정리하면 In=n−1nIn−2\displaystyle I_n=\frac{n-1}n I_{n-2}을 얻게 된다.

+15점 · 논제 1-3을 이용하여 구체적인 값을 구하였는가

4.위의 3번 관계식을 반복해서 적용하면 I8=78⋅56⋅34⋅12I0=35128I0\displaystyle I_8=\frac78\cdot\frac56\cdot\frac34\cdot\frac12 I_0=\frac{35}{128}I_0이다.

한편 I0=∫0πdx=π\displaystyle I_0=\int_0^{\pi}dx=\pi이므로 I8=35128π\displaystyle I_8=\frac{35}{128}\pi이다.

+15점 · 논제 1-3을 이용하여 구체적인 값을 구하였는가

5.역시 3번 문제의 관계식을 반복해서 이용하면I81=8081⋅7879⋯45⋅23I1\displaystyle I_{81}=\frac{80}{81}\cdot\frac{78}{79}\cdots\frac45\cdot\frac23 I_1이다. 한편 I1=∫0πcos⁡xdx=0\displaystyle I_1=\int_0^{\pi}\cos xdx=0이므로 I81=0\displaystyle I_{81}=0이다.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.