부산대 2014학년도 모의 수학과학우수자 3번 해설

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가] 치환적분법은 적분을 계산하는 중요하고 유용한 방법 중의 하나다.두 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 와 $\displaystyle x=g(t)$ 가 모두 미분가능이면, 함수 $\displaystyle y$ 의 도함수는 합성함수의 미분법인 연쇄법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}=f^{\prime}(g(t))g^{\prime}(t)$ 가 성립한다.한편 함수 $\displaystyle x=g(t)$ 가 구간 $\displaystyle \alpha\le t\le\beta$ 에서 증가함수이고, $\displaystyle g(\alpha)=a$ 이고 $\displaystyle g(\beta)=b$ 이면, $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}f(g(t))g^{\prime}(t)dt=\int_a^bf(x)dx$ 이 성립한다는 것이 치환적분법의 내용이다.

[나] 이차곡선의 하나인 타원은 두 초점으로부터의 거리의 합이 일정하다. 또한 하나의 초점에서 나온 빛은 타원면에 반사한 뒤에 다른 초점으로 향한다. 이러한 성질을 이용하면 실생활에 흥미로운 응용이 가능하다. 한 예로, ‘속삭이는 회랑’을 들 수 있는데, 영국 런던의 성바오로 대성당은 타원형으로 생긴 천장이 있어서 복도 한 곳(초점)에서 작은 소리로 속삭이면, 조금 떨어진 곳에서는 못 듣는데도 더 멀리 있는 특정한 장소(다른 초점)에서는 또렷하게 들린다. 이것은 한 초점에서 소리를 내면 타원의 성질로 인하여 음파가 천장에서 반사된 뒤 다른 초점에 모이게 되기 때문이다. 또한 타원형 풀장, 타원모양의 그림이나 디자인도 생활주변에서 종종 접하게 된다.

〈논제 3-1〉치환적분법이 성립하는 이유를 원시함수를 이용하여 증명하시오.(15점)

〈논제 3-2〉이제 타원 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ( $\displaystyle a,b>0$ )의 내부의 넓이를 치환적분을 이용하여 구하려고 한다. 편의상 구하려는 타원의 넓이를 $\displaystyle A$ 라고 하자.1. $\displaystyle A=\frac{4b}a\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx$ 이 됨을 설명하시오.(15점)2. $\displaystyle x=a\sin t$ 로 치환하면, $\displaystyle \int_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx=a^2\int_0^{\frac\pi2}(\cos t)^2dt$ 이 됨을 증명하시오. (15점)3. 위의 치환과정을 이용하여, $\displaystyle A$ 의 값을 구하시오.(15점)

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〈논제 3-1〉 $\displaystyle F$ 를 $\displaystyle f$ 의 한 부정적분(원시함수)라 하자. 즉, $\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C$ ( $\displaystyle C$ 는 상수)이다.

정적분의 기본 정리에 의하여 $\displaystyle \int_a^bf(x)dx=\int_{g(\alpha)}^{g(\beta)}f(x)dx=\Biggl[F(x)\Biggr]_{g(\alpha)}^{g(\beta)}=F(g(\beta))-F(g(\alpha))$ ---------① 이다.

한편, 연쇄법칙과 $\displaystyle f(x)$ 와 이것의 한 부정적분인 $\displaystyle F(x)$ 의 관계 $\displaystyle F^{\prime}=f$ 에 의하여 $\displaystyle \frac{d}{dt}(F(g(t)))=F^{\prime}(g(t))g^{\prime}(t)=f(g(t))g^{\prime}(t)$ 이고, 다시 정적분의 기본 정리에 의하여

$\displaystyle F(g(\beta))-F(g(\alpha))=\Biggl[F(g(t))\Biggr]_{\alpha}^{\beta}=\int_{\alpha}^{\beta}\frac{d}{dt}(F(g(t)))dt=\int_{\alpha}^{\beta}f(g(t))g^{\prime}(t)dt$ --② 이다.

따라서 ①과 ②에 의하여 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}f(g(t))g^{\prime}(t)dt=\int_a^bf(x)dx$ 이다.

〈논제 3-2-1〉좌표평면 위에 주어진 타원을 그리면 제 1사분면에 있는 함수는 $\displaystyle y=\frac ba\sqrt{a^2-x^2}$ 이다.([그림 1])

따라서 제 1사분면에 위치한 타원의 일부분의 넓이를 $\displaystyle B$ 라 하고 타원곡선과 $\displaystyle x$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하면 $\displaystyle A=4\times B=4\times\frac ba\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{4b}a\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx$

〈논제 3-2-2〉주어진 문제에서 $\displaystyle f(x)=\sqrt{a^2-x^2}$ , $\displaystyle g(t)=x=a\sin t$ 으로 두면 $\displaystyle f$ 는 구간 $\displaystyle 0\le x\le a$ 에서 잘 정의된 연속이고, $\displaystyle g$ 는 삼각함수로 항상 미분가능하고, 구간 $\displaystyle [0,\frac\pi2]$ 에서 증가함수이다. 따라서 치환적분법을 이용할 수 있다. $\displaystyle f(x)=f(a\sin t)=\sqrt{a^2-(a\sin t)^2}=a\cos t$ , $\displaystyle g^{\prime}(t)=a|\cos t|$ 이용하면구간 $\displaystyle [0,\frac\pi2]$ 에서 $\displaystyle f(g(t))g^{\prime}(t)=a^2(\cos t)^2$ 이고

또한 $\displaystyle g$ 는 구간 $\displaystyle [0,\frac\pi2]$ 에서 증가함수이고 $\displaystyle g(\alpha)=a\sin\alpha=0\quad\Rightarrow\quad\alpha=0$ , $\displaystyle g(\beta)=a\sin\beta=a\quad\Rightarrow\quad\beta=\frac\pi2$ 이다. 따라서 치환적분법을 적용하면 $\displaystyle \int_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx=a^2\int_0^{\frac\pi2}(\cos t)^2dt$ 이 성립한다.

〈논제 3-2-3〉(2)와 (3)의 과정에 의하여 주어진 타원의 넓이 $\displaystyle A$ 는 $\displaystyle \begin{aligned}A&=\frac{4b}a\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx=4ab\int_0^{\frac\pi2}(\cos t)^2dt\\&=4ab\int_0^{\frac\pi2}\frac{1+\cos2t}2dt=2ab\int_0^{\frac\pi2}(1+\cos2t)dt\\&=2ab\times\frac\pi2=\pi ab\end{aligned}$ 이다.

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