수학과학우수자 3번

〈논제 3-1〉$\displaystyle F$를 $\displaystyle f$의 한 부정적분(원시함수)라 하자. 즉, $\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C$ ($\displaystyle C$는 상수)이다.

정적분의 기본 정리에 의하여$\displaystyle \int_a^bf(x)dx=\int_{g(\alpha)}^{g(\beta)}f(x)dx=\Biggl[F(x)\Biggr]_{g(\alpha)}^{g(\beta)}=F(g(\beta))-F(g(\alpha))$ ---------① 이다.

한편, 연쇄법칙과 $\displaystyle f(x)$와 이것의 한 부정적분인 $\displaystyle F(x)$의 관계 $\displaystyle F^{\prime}=f$에 의하여$\displaystyle \frac{d}{dt}(F(g(t)))=F^{\prime}(g(t))g^{\prime}(t)=f(g(t))g^{\prime}(t)$이고, 다시 정적분의 기본 정리에 의하여

$\displaystyle F(g(\beta))-F(g(\alpha))=\Biggl[F(g(t))\Biggr]_{\alpha}^{\beta}=\int_{\alpha}^{\beta}\frac{d}{dt}(F(g(t)))dt=\int_{\alpha}^{\beta}f(g(t))g^{\prime}(t)dt$ --② 이다.

따라서 ①과 ②에 의하여 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}f(g(t))g^{\prime}(t)dt=\int_a^bf(x)dx$이다.

〈논제 3-2-1〉좌표평면 위에 주어진 타원을 그리면 제 1사분면에 있는 함수는 $\displaystyle y=\frac ba\sqrt{a^2-x^2}$이다.([그림 1])

따라서 제 1사분면에 위치한 타원의 일부분의 넓이를 $\displaystyle B$라 하고 타원곡선과 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하면$\displaystyle A=4\times B=4\times\frac ba\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{4b}a\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx$

〈논제 3-2-2〉주어진 문제에서 $\displaystyle f(x)=\sqrt{a^2-x^2}$, $\displaystyle g(t)=x=a\sin t$으로 두면 $\displaystyle f$는 구간 $\displaystyle 0\le x\le a$에서 잘 정의된 연속이고, $\displaystyle g$는 삼각함수로 항상 미분가능하고, 구간 $\displaystyle [0,\frac\pi2]$에서 증가함수이다. 따라서 치환적분법을 이용할 수 있다.$\displaystyle f(x)=f(a\sin t)=\sqrt{a^2-(a\sin t)^2}=a\cos t$, $\displaystyle g^{\prime}(t)=a|\cos t|$ 이용하면구간 $\displaystyle [0,\frac\pi2]$에서 $\displaystyle f(g(t))g^{\prime}(t)=a^2(\cos t)^2$이고

또한 $\displaystyle g$는 구간 $\displaystyle [0,\frac\pi2]$에서 증가함수이고$\displaystyle g(\alpha)=a\sin\alpha=0\quad\Rightarrow\quad\alpha=0$, $\displaystyle g(\beta)=a\sin\beta=a\quad\Rightarrow\quad\beta=\frac\pi2$이다. 따라서 치환적분법을 적용하면$\displaystyle \int_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx=a^2\int_0^{\frac\pi2}(\cos t)^2dt$이 성립한다.

〈논제 3-2-3〉(2)와 (3)의 과정에 의하여 주어진 타원의 넓이 $\displaystyle A$는$\displaystyle \begin{aligned}A&=\frac{4b}a\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx=4ab\int_0^{\frac\pi2}(\cos t)^2dt\\&=4ab\int_0^{\frac\pi2}\frac{1+\cos2t}2dt=2ab\int_0^{\frac\pi2}(1+\cos2t)dt\\&=2ab\times\frac\pi2=\pi ab\end{aligned}$이다.