수학과학우수자 1번

〈1-1〉$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}=1+\frac{a_{n-1}}{a_n}=1+\frac1{\frac{a_n}{a_{n-1}}}$이므로$\displaystyle g=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=1+\frac1{\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}}=1+\frac1g$이고, 따라서 $\displaystyle g^2=g+1$이다. 그러므로 $\displaystyle g$는 이차방정식 $\displaystyle x^2-x-1=0$의 한 근이고, $\displaystyle g\ge1$이 되어 $\displaystyle g=\frac{1+\sqrt5}2$이다.

〈1-2〉$\displaystyle \beta$가 이차방정식 $\displaystyle x^2-x-1=0$의 근이므로, $\displaystyle \beta^2=\beta+1$이다. $\displaystyle n\ge2$에 관한 수학적 귀납법으로 증명하자. $\displaystyle a_1=a_2=1$이므로 $\displaystyle n=2$일 때는 $\displaystyle \beta^n=a_n\beta+a_{n-1}$이 성립한다. 이제 $\displaystyle n\ge2$에 대하여 $\displaystyle \beta^n=a_n\beta+a_{n-1}$이 성립한다고 가정하자.$\displaystyle \begin{aligned}\beta^{n+1}&=\beta^n\beta=(a_n\beta+a_{n-1})\beta=a_n\beta^2+a_{n-1}\beta\\&=a_n(\beta+1)+a_{n-1}\beta=(a_n+a_{n-1})\beta+a_n=a_{n+1}\beta+a_n\end{aligned}$이 되어 $\displaystyle n+1$일 때도 성립한다.

〈1-3〉$\displaystyle g=\frac{1+\sqrt5}2$와 $\displaystyle \beta=\frac{1-\sqrt5}2$가 이차방정식 $\displaystyle x^2-x-1=0$의 두 근이므로 위의 (2)에 의하여 $\displaystyle g^n=a_ng+a_{n-1}$와 $\displaystyle \beta^n=a_n\beta+a_{n-1}$가 성립한다.그러므로 $\displaystyle g^n-\beta^n=a_n(g-\beta)=\sqrt5a_n$이다.

따라서 $\displaystyle a_n=\frac1{\sqrt5}(g^n-\beta^n)=\frac1{\sqrt5}\left\{\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)^n\right\}$이다.

〈1-4〉$\displaystyle a_n=\frac1{\sqrt5}(g^n-\beta^n)$으로부터 $\displaystyle \left|a_n-\frac1{\sqrt5}g^n\right|=\frac1{\sqrt5}\left(\frac{\sqrt5-1}2\right)^n<\frac12$을 얻는다. 그러므로 모든 $\displaystyle n\ge1$에 대하여, 실수 $\displaystyle \frac1{\sqrt5}g^n$에 가장 가까운 자연수가 $\displaystyle a_n$이다.