수리논술, 이게 다다.

자연계열 2번

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부산대 2014학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/pusan/2014mo/jayeon_2

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다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 사인함수와 코사인함수의 각의 합의 공식은 아래와 같다.sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\displaystyle \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\betacos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\displaystyle \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta

(나) 복소수 z=a+ib\displaystyle z=a+ib (a,b\displaystyle a,b는 실수, i2=−1\displaystyle i^2=-1)에 대하여 원점에서 점 P(a,b)\displaystyle P(a,b)까지의 거리 a2+b2\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}를 z\displaystyle z의 크기(혹은 절댓값)이라 하고 ∣z∣\displaystyle |z|로 나타낸다. 또한 z≠0\displaystyle z\ne0일 때, 원점에서 점 P(a,b)\displaystyle P(a,b)를 잇는 선분과 x\displaystyle x-축 양의 방향 사이의 각 α\displaystyle \alpha를 z\displaystyle z의 편각이라 하고 α=arg⁡(z)\displaystyle \alpha=\arg(z)로 나타낸다. z=0\displaystyle z=0일 때는 편각으로 어떠한 값이라도 취할 수 있다.

(다) (오일러의 공식) 크기가 1이고 편각이 α\displaystyle \alpha인 복소수를 eiα\displaystyle e^{i\alpha}로 표시한다. 즉, eiα=cos⁡α+isin⁡α\displaystyle e^{i\alpha}=\cos\alpha+i\sin\alpha이다.(주: 오일러의 공식이라고 부르는 표현 eiα=cos⁡α+isin⁡α\displaystyle e^{i\alpha}=\cos\alpha+i\sin\alpha은 함수의 멱급수를 이용하여 그 표현식의 타당성을 보일 수 있다.)

〈논제 2-1〉실수 α,β\displaystyle \alpha,\beta에 대하여, eiαeiβ=ei(α+β)\displaystyle e^{i\alpha}e^{i\beta}=e^{i(\alpha+\beta)}이 성립함을 증명하시오. (10점)

〈논제 2-2〉임의의 실수 α\displaystyle \alpha에 대하여, (eiα)−1=e−iα\displaystyle (e^{i\alpha})^{-1}=e^{-i\alpha}임을 증명하시오. (10점)

〈논제 2-3〉복소수 z=a+ib\displaystyle z=a+ib의 편각이 α\displaystyle \alpha이면, z=∣z∣eiα\displaystyle z=|z|e^{i\alpha}로 쓸 수 있음을 설명하시오. (10점)

〈논제 2-4〉임의의 두 복소수 z1,z2\displaystyle z_1,z_2에 대하여, arg⁡(z1z2)=arg⁡(z1)+arg⁡(z2)\displaystyle \arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)이 성립함을 증명하시오. (15점)Comment. 편각은 2π\displaystyle 2\pi의 정수배만큼 달라질 수 있다. 두 복소수가 0이 아닐 때 곱의 편각은 두 편각의 합과 2π\displaystyle 2\pi의 정수배 차이이며, 하나의 대표값을 정했다면 원문의 등식이 항상 그대로 성립하지는 않는다. 0의 편각을 임의로 정하는 경우에도 이 등식을 일률적으로 적용할 수 없다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

〈논제 2-5〉오일러공식을 이용하여, (3+i)11\displaystyle (\sqrt3+i)^{11}을 a+ib\displaystyle a+ib꼴로 나타내시오. (15점)

해설강의 준비중

부산대 2014학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/pusan/2014mo/jayeon_2

〈논제 2-1〉제시문을 이용하여eiαeiβ=(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=(cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β)+i(sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)\displaystyle \begin{aligned}e^{i\alpha}e^{i\beta}&=(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)\\&=(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)+i(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)\\&=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\end{aligned}그러므로 오일러 공식을 이용하여eiαeiβ=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)=ei(α+β)\displaystyle e^{i\alpha}e^{i\beta}=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)=e^{i(\alpha+\beta)}

〈논제 2-2〉eiαe−iα=ei(α−α)=e0i=cos⁡0+isin⁡0=1\displaystyle e^{i\alpha}e^{-i\alpha}=e^{i(\alpha-\alpha)}=e^{0i}=\cos0+i\sin0=1∴  (eiα)−1=e−iα\displaystyle \therefore\;(e^{i\alpha})^{-1}=e^{-i\alpha}

〈논제 2-3〉z=0\displaystyle z=0일 때는 ∣z∣=0\displaystyle |z|=0이므로 z=0=∣z∣eiα\displaystyle z=0=|z|e^{i\alpha}이 성립한다.z≠0\displaystyle z\ne0일 때는 크기가 ∣z∣=a2+b2\displaystyle |z|=\sqrt{a^2+b^2} (≠0\displaystyle \ne0)이므로z=a+ib=a2+b2(aa2+b2+iba2+b2)=a2+b2(cos⁡α+isin⁡α)=a2+b2eiα=∣z∣eiα\displaystyle \begin{aligned}z=a+ib&=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}+i\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\\&=\sqrt{a^2+b^2}(\cos\alpha+i\sin\alpha)\\&=\sqrt{a^2+b^2}e^{i\alpha}=|z|e^{i\alpha}\end{aligned}

〈논제 2-4〉두 복소수 z1=a1+b1i\displaystyle z_1=a_1+b_1i와 z2=a2+b2i\displaystyle z_2=a_2+b_2i의 편각을 각각 α,β\displaystyle \alpha,\beta라 두면,z1=a1+ib1=∣z1∣(cos⁡α+isin⁡α)=∣z1∣eiα\displaystyle z_1=a_1+ib_1=|z_1|(\cos\alpha+i\sin\alpha)=|z_1|e^{i\alpha}z2=a2+ib2=∣z2∣(cos⁡β+isin⁡β)=∣z2∣eiβ\displaystyle z_2=a_2+ib_2=|z_2|(\cos\beta+i\sin\beta)=|z_2|e^{i\beta}로 쓸 수 있다. 한편 문제 1에 의하여,z1z2=∣z1∣eiα∣z2∣eiβ=∣z1∣∣z2∣eiαeiβ=∣z1∣∣z2∣ei(α+β)=∣z1∣∣z2∣{cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)}\displaystyle \begin{aligned}z_1z_2&=|z_1|e^{i\alpha}|z_2|e^{i\beta}\\&=|z_1||z_2|e^{i\alpha}e^{i\beta}=|z_1||z_2|e^{i(\alpha+\beta)}\\&=|z_1||z_2|\{\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\}\end{aligned}이므로 arg⁡(z1z2)=α+β=arg⁡(z1)+arg⁡(z2)\displaystyle \arg(z_1z_2)=\alpha+\beta=\arg(z_1)+\arg(z_2)

〈논제 2-5〉3+i=2(cos⁡π6+isin⁡π6)=2eπ6i\displaystyle \sqrt3+i=2\left(\cos\frac\pi6+i\sin\frac\pi6\right)=2e^{\frac\pi6i}이므로(3+i)11=211(eπ6i)11=211(e11π6i)=211(cos⁡11π6+isin⁡11π6)=211(32−i12)=10243−1024i\displaystyle \begin{aligned}(\sqrt3+i)^{11}&=2^{11}\left(e^{\frac\pi6i}\right)^{11}=2^{11}\left(e^{\frac{11\pi}6i}\right)=2^{11}\left(\cos\frac{11\pi}6+i\sin\frac{11\pi}6\right)\\&=2^{11}\left(\frac{\sqrt3}2-i\frac12\right)=1024\sqrt3-1024i\end{aligned}이다.

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