자연계열 2번

〈논제 2-1〉제시문을 이용하여$\displaystyle \begin{aligned}e^{i\alpha}e^{i\beta}&=(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)\\&=(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)+i(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)\\&=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\end{aligned}$그러므로 오일러 공식을 이용하여$\displaystyle e^{i\alpha}e^{i\beta}=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)=e^{i(\alpha+\beta)}$

〈논제 2-2〉$\displaystyle e^{i\alpha}e^{-i\alpha}=e^{i(\alpha-\alpha)}=e^{0i}=\cos0+i\sin0=1$$\displaystyle \therefore\;(e^{i\alpha})^{-1}=e^{-i\alpha}$

〈논제 2-3〉$\displaystyle z=0$일 때는 $\displaystyle |z|=0$이므로 $\displaystyle z=0=|z|e^{i\alpha}$이 성립한다.$\displaystyle z\ne0$일 때는 크기가 $\displaystyle |z|=\sqrt{a^2+b^2}$ ($\displaystyle \ne0$)이므로$\displaystyle \begin{aligned}z=a+ib&=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}+i\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\\&=\sqrt{a^2+b^2}(\cos\alpha+i\sin\alpha)\\&=\sqrt{a^2+b^2}e^{i\alpha}=|z|e^{i\alpha}\end{aligned}$

〈논제 2-4〉두 복소수 $\displaystyle z_1=a_1+b_1i$와 $\displaystyle z_2=a_2+b_2i$의 편각을 각각 $\displaystyle \alpha,\beta$라 두면,$\displaystyle z_1=a_1+ib_1=|z_1|(\cos\alpha+i\sin\alpha)=|z_1|e^{i\alpha}$$\displaystyle z_2=a_2+ib_2=|z_2|(\cos\beta+i\sin\beta)=|z_2|e^{i\beta}$로 쓸 수 있다. 한편 [논제Ⅰ-1]에 의하여,Correction. 여기서 사용하는 지수법칙은 〈논제 2-1〉에서 증명한 결과다. “[논제Ⅰ-1]”은 “〈논제 2-1〉”로 읽어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned}z_1z_2&=|z_1|e^{i\alpha}|z_2|e^{i\beta}\\&=|z_1||z_2|e^{i\alpha}e^{i\beta}=|z_1||z_2|e^{i(\alpha+\beta)}\\&=|z_1||z_2|\{\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\}\end{aligned}$이므로 $\displaystyle \arg(z_1z_2)=\alpha+\beta=\arg(z_1)+\arg(z_2)$

〈논제 2-5〉$\displaystyle \sqrt3+i=2\left(\cos\frac\pi6+i\sin\frac\pi6\right)=2e^{\frac\pi6i}$이므로$\displaystyle \begin{aligned}(\sqrt3+i)^{11}&=2^{11}\left(e^{\frac\pi6i}\right)^{11}=2^{11}\left(e^{\frac{11\pi}6i}\right)=2^{11}\left(\cos\frac{11\pi}6+i\sin\frac{11\pi}6\right)\\&=2^{11}\left(\frac{\sqrt3}2-i\frac12\right)=1024\sqrt3-1024i\end{aligned}$이다.