수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 3번

부산대 2014학년도 모의 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/pusan/2014mo/jayeon_3

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다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

현대에 와서 행렬(matrix)은 아주 넓은 범위에 까지 응용이 되는 아주 중요한 학문의 한 분야가 되었다. 특히 행렬과 연산이 결합된 행렬대수는 다양한 문제의 해결에 적용되고 있다.

(가) 2차정사각행렬의 일반형은 A=(a11a12a21a22)\displaystyle A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}인 꼴이다. a12=a21=0\displaystyle a_{12}=a_{21}=0일 때, A\displaystyle A를 대각행렬(diagonal matrix)이라고 한다. 특히 (1001)\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}을 단위행렬(unit matrix)이라 하고 보통 E\displaystyle E로 표기한다.

(나) 행렬 A=(a11a12a21a22)\displaystyle A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}와 B=(b11b12b21b22)\displaystyle B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}의 곱 AB\displaystyle AB를 아래와 같이 정의한다.AB=(a11b11+a12b21a11b12+a12b22a21b11+a22b21a21b12+a22b22)\displaystyle AB=\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\end{pmatrix}

행렬의 곱에 대한 결합법칙이 성립하고, 또한 임의의 2차정사각행렬 A\displaystyle A에 대하여, AE=EA=A\displaystyle AE=EA=A이 성립함을 쉽게 보일 수 있다.

(다) AB=BA=E\displaystyle AB=BA=E일 때, A\displaystyle A를 가역적(invertible)인 행렬, B\displaystyle B를 A\displaystyle A의 역행렬(inverse matrix)이라 하고, B=A−1\displaystyle B=A^{-1}로 쓴다.

(라) 2차정사각행렬 A\displaystyle A의 거듭제곱은 귀납적으로A1=A,  A2=AA,⋯ ,  An=An−1A  (n≥2)\displaystyle A^1=A,\;A^2=AA,\cdots,\;A^n=A^{n-1}A\;(n\ge2)로 계산한다.

2차정사각행렬 A=(14123412)\displaystyle A=\begin{pmatrix}\frac14&\frac12\\\frac34&\frac12\end{pmatrix}와 P=(25−153515)\displaystyle P=\begin{pmatrix}\frac25&-\frac15\\\frac35&\frac15\end{pmatrix}에 대하여 다음 물음에 답하여라.

〈논제 3-1〉P\displaystyle P는 가역적이고, P−1=(11−32)\displaystyle P^{-1}=\begin{pmatrix}1&1\\-3&2\end{pmatrix}이다. P−1AP\displaystyle P^{-1}AP를 계산하여라. (15점)

〈논제 3-2〉정수 n(≥1)\displaystyle n(\ge1)에 대한 거듭제곱 (P−1AP)n\displaystyle (P^{-1}AP)^n을 구하여라. (10점)

〈논제 3-3〉정수 n(≥1)\displaystyle n(\ge1)에 대한 거듭제곱 An\displaystyle A^n을 구하여라. (20점)

〈논제 3-4〉정수 n(≥1)\displaystyle n(\ge1)에 대하여, An=(anbncndn)\displaystyle A^n=\begin{pmatrix}a_n&b_n\\c_n&d_n\end{pmatrix}라 둘 때, lim⁡n→∞(an−bn+cn−dn)\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n-b_n+c_n-d_n)의 값을 계산하여라. (15점)

해설강의 준비중

부산대 2014학년도 모의 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/pusan/2014mo/jayeon_3

〈논제 3-1〉P−1AP=(11−32)(14123412)(25−153515)=(1134−12)(25−153515)=(100−14)\displaystyle \begin{aligned}P^{-1}AP&=\begin{pmatrix}1&1\\-3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac14&\frac12\\\frac34&\frac12\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac25&-\frac15\\\frac35&\frac15\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\\frac34&-\frac12\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac25&-\frac15\\\frac35&\frac15\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}1&0\\0&-\frac14\end{pmatrix}\end{aligned}이다.

〈논제 3-2〉(P−1AP)n=(100−14)n=(100(−14)n)\displaystyle (P^{-1}AP)^n=\begin{pmatrix}1&0\\0&-\frac14\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}1&0\\0&\left(-\frac14\right)^n\end{pmatrix}이다.

〈논제 3-3〉P−1AP=(100−14)\displaystyle P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1&0\\0&-\frac14\end{pmatrix}이므로 A=P(100−14)P−1\displaystyle A=P\begin{pmatrix}1&0\\0&-\frac14\end{pmatrix}P^{-1}이다.그러므로An=(P(100−14)P−1)n=(P(100−14)P−1)(P(100−14)P−1)⋯(P(100−14)P−1)⏟n=P(100−14)P−1P(100−14)P−1⋯P(100−14)⏟nP−1\displaystyle \begin{aligned}A^n&=\left(P\begin{pmatrix}1&0\\0&-\frac14\end{pmatrix}P^{-1}\right)^n\\&=\underbrace{\left(P\begin{pmatrix}1&0\\0&-\frac14\end{pmatrix}P^{-1}\right)\left(P\begin{pmatrix}1&0\\0&-\frac14\end{pmatrix}P^{-1}\right)\cdots\left(P\begin{pmatrix}1&0\\0&-\frac14\end{pmatrix}P^{-1}\right)}_n\\&=P\underbrace{\begin{pmatrix}1&0\\0&-\frac14\end{pmatrix}P^{-1}P\begin{pmatrix}1&0\\0&-\frac14\end{pmatrix}P^{-1}\cdots P\begin{pmatrix}1&0\\0&-\frac14\end{pmatrix}}_nP^{-1}\end{aligned}

P−1P\displaystyle P^{-1}P는 단위행렬이므로=P(100−14)nP−1=(25−153515)(100(−14)n)(11−32)=(25+35(−14)n25−25(−14)n35−35(−14)n35+25(−14)n)\displaystyle \begin{aligned}&=P\begin{pmatrix}1&0\\0&-\frac14\end{pmatrix}^nP^{-1}\\&=\begin{pmatrix}\frac25&-\frac15\\\frac35&\frac15\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&\left(-\frac14\right)^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\-3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac25+\frac35\left(-\frac14\right)^n&\frac25-\frac25\left(-\frac14\right)^n\\\frac35-\frac35\left(-\frac14\right)^n&\frac35+\frac25\left(-\frac14\right)^n\end{pmatrix}\end{aligned}이다.

〈논제 3-4〉an=25+35(−14)n\displaystyle a_n=\frac25+\frac35\left(-\frac14\right)^n, bn=25−25(−14)n\displaystyle b_n=\frac25-\frac25\left(-\frac14\right)^n, cn=35−35(−14)n\displaystyle c_n=\frac35-\frac35\left(-\frac14\right)^n, dn=35+25(−14)n\displaystyle d_n=\frac35+\frac25\left(-\frac14\right)^nlim⁡n→∞(an−bn+cn−dn)=lim⁡n→∞(25+35(−14)n−(25−25(−14)n)+35−35(−14)n−(35+25(−14)n))=25−25+35−35=0\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n+c_n-d_n)&=\lim_{n\to\infty}\left(\frac25+\frac35\left(-\frac14\right)^n-\left(\frac25-\frac25\left(-\frac14\right)^n\right)+\frac35-\frac35\left(-\frac14\right)^n-\left(\frac35+\frac25\left(-\frac14\right)^n\right)\right)\\&=\frac25-\frac25+\frac35-\frac35=0\end{aligned}이다.

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