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자연계열 1번

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부산대 2016학년도 모의 1차 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/pusan/2016mo_1/jayeon_1

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【 문항 1 】 다음 제시문을 근거로 하여 논제에 답하시오. (40점)

[가] 무한급수 ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}에 대하여 부분합Sn=a1+a2+a3+⋯+an\displaystyle S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdots + a_{n}로 이루어진 무한수열 {Sn}\displaystyle \left\{ S_{n} \right\}이 실수 S\displaystyle S에 수렴하면, 무한급수 ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}은 S\displaystyle S에 수렴한다고 한다. 이 때, S\displaystyle S를 이 무한급수의 합이라 하고 ∑n=1∞an=S\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = S 로 나타낸다. 한편, 수열 {Sn}\displaystyle \left\{ S_{n} \right\}이 발산하면 무한급수∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}이 발산한다고 하며, 발산하는 무한급수에 대해서는 그 합을 생각하지 않는다.

[나] 무한급수에서 합을 직접 구하지 않고 알려진 무한급수와 비교하여, 수렴과 발산을 간접적으로 판정할 수 있는 다음의 성질이 잘 알려져 있다.(1) 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 0≤an≤bn\displaystyle 0 \leq a_{n} \leq b_{n}일 때, ∑n=1∞bn\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}이 수렴하면 ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}도 수렴한다.(2) 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 0≤an≤bn\displaystyle 0 \leq a_{n} \leq b_{n}일 때, ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}이 발산하면 ∑n=1∞bn\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}도 발산한다.

1-1. 무한수열 {cn}\displaystyle \left\{ c_{n} \right\}이 cn={1(n=1)4n−2(n≥2)\displaystyle c_{n} = {\begin{cases}1&(n=1)\\4n-2&(n\ge2)\end{cases}} 으로 주어질 때, 무한수열c112,c1+c2(1+2)2,c1+c2+c3(1+2+3)2,⋯⋯ ,c1+c2+c3+⋯+cn(1+2+3+⋯+n)2,⋯⋯\displaystyle \frac{{c_{1}}}{1^{2}} , \frac{{c_{1} + c_{2}}}{\left( 1 + 2 \right)^{2}} , \frac{{c_{1} + c_{2} + c_{3}}}{\left( 1 + 2 + 3 \right)^{2}} , \cdots \cdots , \frac{{c_{1} + c_{2} + c_{3} + \cdots + c_{n}}}{\left( 1 + 2 + 3 + \cdots + n \right)^{2}} , \cdots \cdots의 일반항 an\displaystyle a_{n}을 구하고, 무한수열 {n2an}\displaystyle \left\{ n^{2} a_{n} \right\}의 수렴, 발산을 판정하시오. (15점)

1-2. 1-1에서 주어진 무한수열 {cn}\displaystyle \left\{ c_{n} \right\}에 대하여, 1-1의 결과와 제시문 [나]를 이용하여 무한급수c112+c1+c2(1+2)2+c1+c2+c3(1+2+3)2+⋯⋯+c1+c2+c3+⋯+cn(1+2+3+⋯+n)2+⋯⋯\displaystyle \frac{{c_{1}}}{1^{2}} + \frac{{c_{1} + c_{2}}}{\left( 1 + 2 \right)^{2}} + \frac{{c_{1} + c_{2} + c_{3}}}{\left( 1 + 2 + 3 \right)^{2}} + \cdots \cdots + \frac{{c_{1} + c_{2} + c_{3} + \cdots + c_{n}}}{\left( 1 + 2 + 3 + \cdots + n \right)^{2}} + \cdots \cdots의 수렴, 발산을 판정하고, 수렴하는 경우에 이 무한급수의 합을 구하시오. (25점)

해설강의 준비중

부산대 2016학년도 모의 1차 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/pusan/2016mo_1/jayeon_1

+3점 · 2+6+10+⋯+(4n−2)−1=2n2−1\displaystyle 2+6+10+\cdots+(4n-2)-1=2n^2-1

1-1. (15점) 일반항 an\displaystyle a_{n}은 논제 1-1 에 의하여 an=1+6+10+14+⋯+(제n항)(1+2+3+⋯+n)2\displaystyle a_{n} = \frac{{1 + 6 + 10 + 14 + \cdots + (\text{제}n\text{항})}}{\left( 1 + 2 + 3 + \cdots + n \right)^{2}} ......(*)2+6+10+⋯+(4n−2)−1=2n2−1\displaystyle 2 + 6 + 10 + \cdots + ( 4 n - 2 ) - 1= 2 n^{2} - 1 이고,

+3점 · (1+2+3+⋯+n)2={12n(n+1)}2\displaystyle (1+2+3+\cdots+n)^2=\{\frac12n(n+1)\}^2

(1+2+3+⋯+n)2={12n(n+1)}2\displaystyle {\left( 1 + 2 + 3 + \cdots + n \right)^{2}}= \left\{ \frac{{1}}{2} n ( n + 1 ) \right\}^{2}이므로

+2점 · 일반항

일반항은 an=4(2n2−1){n(n+1)}2\displaystyle a_{n} = \frac{{4 ( 2 n^{2} - 1 )}}{\left\{ n ( n + 1 ) \right\}^{2}} 이다.

+5점 · lim⁡n→∞n2an=8\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^2a_n=8

lim⁡n→∞n2an=lim⁡n→∞4n2(2n2−1){n(n+1)}2=lim⁡n→∞4(2n2−1)(n+1)2=8\displaystyle \lim_{n \to \infty} {n^{2} a_{n}} =\lim_{n \to \infty} {\frac{{4 n^{2} ( 2 n^{2} - 1 )}}{\left\{ n ( n + 1 ) \right\}^{2}}}= \lim_{n \to \infty} {\frac{{4 ( 2 n^{2} - 1 )}}{( n + 1 )^{2}}} = 8 이므로

+2점 · 무한수열은 8에 수렴한다.

무한수열 {n2an}\displaystyle \left\{ n^{2} a_{n} \right\}은 8에 수렴한다.

+5점 · bn=8n(n+1)\displaystyle b_n=\frac8{n(n+1)}을 선택

1-2. (25점) 제시문 [나]에서 이미 수렴함을 알고 있는 무한급수∑n=1∞bn\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}의 일반항으로bn=8n(n+1)\displaystyle b_{n} = \frac{{8}}{n ( n + 1 )}을 선택하면

+5점 · ∑n=1∞bn=8\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n=8

∑n=1∞bn=∑n=1∞8n(n+1)=lim⁡n→∞8∑k=1n1k(k+1)=lim⁡n→∞8∑k=1n{1k−1(k+1)}\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}= \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{8}}{n ( n + 1 )}= \lim_{n \to \infty} {} 8 \sum_{k = 1}^{n} \frac{{1}}{k \left( k + 1 \right)}= \lim_{n \to \infty} {} 8 \sum_{k = 1}^{n} \left\{ \frac{{1}}{k} - \frac{{1}}{( k + 1 )} \right\}=lim⁡n→∞8{(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1(n+1))}\displaystyle = \lim_{n \to \infty} {} 8 \left\{ \left( 1 - \frac{{1}}{2} \right) + \left( \frac{{1}}{2} - \frac{{1}}{3} \right) + \left( \frac{{1}}{3} - \frac{{1}}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{{1}}{n} - \frac{{1}}{( n + 1 )} \right) \right\}=lim⁡n→∞8(1−1n+1)\displaystyle = \lim_{n \to \infty} {} 8 \left( 1 - \frac{{1}}{n + 1} \right) =8\displaystyle = 8 이다.

+5점 · 제시문 [나]에 의하여 무한급수는 수렴한다.

한편 주어진 무한급수의 일반항은 an=4(2n2−1){n(n+1)}2\displaystyle a_{n} = \frac{{4 ( 2 n^{2} - 1 )}}{\left\{ n ( n + 1 ) \right\}^{2}} 이고, 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여0≤an=4(2n2−1){n(n+1)}2≤8n2n2(n+1)2=8(n+1)2≤8n(n+1)=bn\displaystyle 0 \le a_{n} = \frac{{4 ( 2 n^{2} - 1 )}}{\left\{ n ( n + 1 ) \right\}^{2}} \le \frac{{8 n^{2}}}{n^{2} ( n + 1 )^{2}} = \frac{{8}}{( n + 1 )^{2}} \le \frac{{8}}{n ( n + 1 )} = b_{n}이므로 제시문 [나]에 의하여 무한급수 ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}은 수렴한다.

<주의> 비교대상의 수렴하는 무한급수∑n=1∞bn\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}은 다양하게 나타날 수 있음.

+4점 · 각 항을 부분분수로 고치기

이제 그 합을 구해보면 ∑n=1∞an=lim⁡n→∞∑k=1n4(2k2−1){k(k+1)}2\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}= \lim_{n \to \infty} {\sum_{k = 1}^{n} \frac{{4 ( 2 k^{2} - 1 )}}{\left\{ k ( k + 1 ) \right\}^{2}}}이므로, 각 항을 부분분수로 고치기 위하여 4(2k2−1){k(k+1)}2=4{ak+bk2−ck+d(k+1)2}\displaystyle \frac{{4 ( 2 k^{2} - 1 )}}{\left\{ k ( k + 1 ) \right\}^{2}} = 4 \left\{ \frac{{a k + b}}{k^{2}} - \frac{{c k + d}}{( k + 1 )^{2}} \right\} 라 두고 a,b,c,d\displaystyle a , b , c , d를 구하면 a=2,b=−1,c=2,d=1\displaystyle a = 2 , b = - 1 , c = 2 , d = 1이다.

+6점 · 무한급수의 합

따라서 무한급수의 부분합은Sn=∑k=1n4(2k2−1){k(k+1)}2=∑k=1n4{2k−1k2−2k+1(k+1)2}\displaystyle S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{{4 ( 2 k^{2} - 1 )}}{\left\{ k ( k + 1 ) \right\}^{2}}= \sum_{k = 1}^{n} 4 \left\{ \frac{{2 k - 1}}{k^{2}} - \frac{{2 k + 1}}{( k + 1 )^{2}} \right\} =4{1−2n+1(n+1)2}={2n(n+1)}2\displaystyle = 4 \left\{ 1 - \frac{{2 n + 1}}{( n + 1 )^{2}} \right\}= \left\{ \frac{{2 n}}{( n + 1 )} \right\}^{2}이고, 무한급수의 합은∑n=1∞an=lim⁡n→∞Sn=lim⁡n→∞{2n(n+1)}2=4\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}= \lim_{n \to \infty} {S_{n}}= \lim_{n \to \infty} {\left\{ \frac{{2 n}}{( n + 1 )} \right\}^{2}}= 4 이다.

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