자연계열 1번

1-1. (15점) 일반항 $\displaystyle a_{n}$은 논제 1-1 에 의하여 $\displaystyle a_{n} = \frac{{1 + 6 + 10 + 14 + \cdots + (\text{제}n\text{항})}}{\left( 1 + 2 + 3 + \cdots + n \right)^{2}}$ ......(*)$\displaystyle 2 + 6 + 10 + \cdots + ( 4 n - 2 ) - 1= 2 n^{2} - 1$ 이고,

$\displaystyle {\left( 1 + 2 + 3 + \cdots + n \right)^{2}}= \left\{ \frac{{1}}{2} n ( n + 1 ) \right\}^{2}$이므로

일반항은 $\displaystyle a_{n} = \frac{{4 ( 2 n^{2} - 1 )}}{\left\{ n ( n + 1 ) \right\}^{2}}$ 이다.

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} {n^{2} a_{n}} =\lim_{n \to \infty} {\frac{{4 n^{2} ( 2 n^{2} - 1 )}}{\left\{ n ( n + 1 ) \right\}^{2}}}= \lim_{n \to \infty} {\frac{{4 ( 2 n^{2} - 1 )}}{( n + 1 )^{2}}} = 8$ 이므로

무한수열 $\displaystyle \left\{ n^{2} a_{n} \right\}$은 8에 수렴한다.

1-2. (25점) 제시문 [나]에서 이미 수렴함을 알고 있는 무한급수$\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$의 일반항으로$\displaystyle b_{n} = \frac{{8}}{n ( n + 1 )}$을 선택하면

$\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}= \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{8}}{n ( n + 1 )}= \lim_{n \to \infty} {} 8 \sum_{k = 1}^{n} \frac{{1}}{k \left( k + 1 \right)}= \lim_{n \to \infty} {} 8 \sum_{k = 1}^{n} \left\{ \frac{{1}}{k} - \frac{{1}}{( k + 1 )} \right\}$$\displaystyle = \lim_{n \to \infty} {} 8 \left\{ \left( 1 - \frac{{1}}{2} \right) + \left( \frac{{1}}{2} - \frac{{1}}{3} \right) + \left( \frac{{1}}{3} - \frac{{1}}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{{1}}{n} - \frac{{1}}{( n + 1 )} \right) \right\}$$\displaystyle = \lim_{n \to \infty} {} 8 \left( 1 - \frac{{1}}{n + 1} \right)$ $\displaystyle = 8$ 이다.

한편 주어진 무한급수의 일반항은 $\displaystyle a_{n} = \frac{{4 ( 2 n^{2} - 1 )}}{\left\{ n ( n + 1 ) \right\}^{2}}$ 이고, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle 0 \le a_{n} = \frac{{4 ( 2 n^{2} - 1 )}}{\left\{ n ( n + 1 ) \right\}^{2}} \le \frac{{8 n^{2}}}{n^{2} ( n + 1 )^{2}} = \frac{{8}}{( n + 1 )^{2}} \le \frac{{8}}{n ( n + 1 )} = b_{n}$이므로 제시문 [나]에 의하여 무한급수 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$은 수렴한다.

이제 그 합을 구해보면 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}= \lim_{n \to \infty} {\sum_{k = 1}^{n} \frac{{4 ( 2 k^{2} - 1 )}}{\left\{ k ( k + 1 ) \right\}^{2}}}$이므로, 각 항을 부분분수로 고치기 위하여 $\displaystyle \frac{{4 ( 2 k^{2} - 1 )}}{\left\{ k ( k + 1 ) \right\}^{2}} = 4 \left\{ \frac{{a k + b}}{k^{2}} - \frac{{c k + d}}{( k + 1 )^{2}} \right\}$ 라 두고 $\displaystyle a , b , c , d$를 구하면 $\displaystyle a = 2 , b = - 1 , c = 2 , d = 1$이다.

따라서 무한급수의 부분합은$\displaystyle S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{{4 ( 2 k^{2} - 1 )}}{\left\{ k ( k + 1 ) \right\}^{2}}= \sum_{k = 1}^{n} 4 \left\{ \frac{{2 k - 1}}{k^{2}} - \frac{{2 k + 1}}{( k + 1 )^{2}} \right\}$ $\displaystyle = 4 \left\{ 1 - \frac{{2 n + 1}}{( n + 1 )^{2}} \right\}= \left\{ \frac{{2 n}}{( n + 1 )} \right\}^{2}$이고, 무한급수의 합은$\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}= \lim_{n \to \infty} {S_{n}}= \lim_{n \to \infty} {\left\{ \frac{{2 n}}{( n + 1 )} \right\}^{2}}= 4$ 이다.