자연계열 2번

2-1. (10점) 합성함수 $\displaystyle ( f \circ f ) ( x ) = x$인 경우는(ⅰ) 항등함수 1개,

(ⅱ) 어느 한 쌍의 두 수가 서로 다른 수에 대응하는 경우 $\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{2}$개,

(ⅲ) (ⅱ)이 두 쌍인 경우 $\displaystyle {}_{4}\mathrm C_2 \times{}_{2}\mathrm{C}_{2} \times \frac{{1}}{2 !}$로 나누어진다.

따라서, (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 1 +$\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{2} +{}_{4}\mathrm C_2 \times{}_{2}\mathrm{C}_{2} \times \frac{{1}}{2 !}$ = 1 + 6 + 3 = 10(개)이다.

2-2. (10점) $\displaystyle I ( f )$가 공집합이므로 모든 $\displaystyle x \in X$에 대하여 $\displaystyle f ( x ) \ne x$이다.그리고 $\displaystyle ( f \circ f \circ f ) ( x ) = x$를 만족해야 $\displaystyle f$는 일대일 대응이고 6개의 수가 세수씩 두 조로 편성하여각조는 예를 들어[예]

6개의 수를 세수씩 두 조로 편성하는 방법의 수 $\displaystyle {}_{6}\mathrm{C}_{3} \times{}_{3}\mathrm{C}_{3} \times \frac{{1}}{2 !}$

각 조에서 [예]의 1이 3에 대응되는 경우로 나누어 곱의 법칙을 적용하면, 전체 경우의 수는$\displaystyle {}_{6}\mathrm{C}_{3} \times{}_{3}\mathrm{C}_{3} \times \frac{{1}}{2 !} \times 2^{2}$ = 40(개)이다.

2-3. (10점) $\displaystyle X$가 $\displaystyle n$개의 원소를 가질 때, 모든 $\displaystyle x \in X$에 대하여 $\displaystyle f ( x ) \ne x$인 함수의 개수를 $\displaystyle a_{n}$ 이라고 하자.$\displaystyle a_{1} = 0$ (∵ 원소가 1개일 때는 없다.)$\displaystyle a_{2} = 1$ (∵ 원소가 2개일 때는 서로 다른 수에 대응.)$\displaystyle a_{3} = 2$ (∵ 원소가 3개일 때는 2가지 경우이다.)

$\displaystyle a_{4} = 3 ( a_{2} + a_{3} )$= 9(∵) 1과 $\displaystyle 2 \leq k \leq 4$인 수 $\displaystyle k$를 잡고 점화식을 구하면ⅰ) 1에 $\displaystyle k$, $\displaystyle k$에 1이 대응할 때: 남은 2개를 대응하는 것으로 $\displaystyle a_{2}$ⅱ) 1에 $\displaystyle k$, $\displaystyle k$에 1이 아닐 때: 1자리를 제외한 3개를 대응하는 것으로 $\displaystyle a_{3}$따라서 4개를 완전순열로 대응하는 가짓수는 3개의 $\displaystyle k$에 대해 $\displaystyle a_{4} = 3 ( a_{2} + a_{3} )$이다.

같은 방법으로, $\displaystyle a_{5} = 4 ( a_{3} + a_{4} )$이고,

따라서 $\displaystyle a_{5} = 4 ( 2 + 9 )$ = 44(개)이다.