의학계 1번

1-1. (10점) $\displaystyle a_{n} = \left\{ \frac{{1}}{2} n ( n + 1 ) \right\}^{2}$이므로 $\displaystyle \left\{ \frac{{1}}{2} n ( n + 1 ) \right\}^{2} = 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \cdots + n^{3}$ 임을 제시문 [나]의 수학적 귀납법을 이용하여 밝히면 된다.i) $\displaystyle n = 1$ 일 때, 분명히 (좌변)$\displaystyle = 1$=(우변) 으로 성립한다.

ii) $\displaystyle n = k$일 때, 성립한다고 가정하면

$\displaystyle 1^{3} + 2^{3} + \cdots + k^{3} + ( k + 1 )^{3} = \left\{ \frac{{1}}{2} k ( k + 1 ) \right\}^{2} + ( k + 1 )^{3}$ $\displaystyle = \frac{{1}}{4} ( k + 1 )^{2} \left\{ k^{2} + 4 ( k + 1 ) \right\}$$\displaystyle = \left\{ \frac{{1}}{2} ( k + 1 ) ( k + 2 ) \right\}^{2}= \left\{ \frac{{1}}{2} ( k + 1 ) ( ( k + 1 ) + 1 ) \right\}^{2} = a_{n + 1}$ 이므로 $\displaystyle n = k + 1$일 때에도 성립한다.

제시문 [나]의 수학적귀납법에 의하여 $\displaystyle a_{n} = 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \cdots + k^{3} = \left\{ \frac{{1}}{2} k ( k + 1 ) \right\}^{2}$ 가 성립한다.

1-2. (5점) 일반항 $\displaystyle b_{n}$은 1-1 에 의하여 $\displaystyle b_{n} = \frac{{c_{1} + c_{2} + c_{3} + \cdots + c_{n}}}{1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \cdots + n^{3}} = \frac{{1 + 6 + 10 + 14 + \cdots + (\text{제}n\text{항})}}{\left( 1 + 2 + 3 + \cdots + n \right)^{2}}$ 이다.$\displaystyle 1 + 6 + 10 + \cdots + ( 4 n - 2 ) = 2 + 6 + 10 + \cdots + ( 4 n - 2 ) - 1= 2 n^{2} - 1$ 이고

$\displaystyle {\left( 1 + 2 + 3 + \cdots + n \right)^{2}}= \left\{ \frac{{1}}{2} n ( n + 1 ) \right\}^{2} = \frac{{1}}{4} n ( n + 1 )^{2}$이므로 $\displaystyle b_{n} = \frac{{4 ( 2 n^{2} - 1 )}}{\left\{ n ( n + 1 ) \right\}^{2}}$ 이다.

그러므로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} {n^{2} b_{n}} =\lim_{n \to \infty} {\frac{{4 n^{2} ( 2 n^{2} - 1 )}}{\left\{ n ( n + 1 ) \right\}^{2}}}= \lim_{n \to \infty} {\frac{{4 ( 2 n^{2} - 1 )}}{( n + 1 )^{2}}}$ = 8 이고,

$\displaystyle \left\{ n^{2} b_{n} \right\}$은 8에 수렴한다.

1-3. (15점) 제시문 [나]에서 이미 수렴함을 알고 있는 무한급수$\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$의 일반항으로$\displaystyle b_{n} = \frac{{8}}{n ( n + 1 )}$을 선택하면

$\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}= \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{8}}{n ( n + 1 )}= \lim_{n \to \infty} {} 8 \sum_{k = 1}^{n} \frac{{1}}{k \left( k + 1 \right)}= \lim_{n \to \infty} {} 8 \sum_{k = 1}^{n} \left\{ \frac{{1}}{k} - \frac{{1}}{( k + 1 )} \right\}$$\displaystyle = \lim_{n \to \infty} {} 8 \left\{ \left( 1 - \frac{{1}}{2} \right) + \left( \frac{{1}}{2} - \frac{{1}}{3} \right) + \left( \frac{{1}}{3} - \frac{{1}}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{{1}}{n} - \frac{{1}}{( n + 1 )} \right) \right\}$$\displaystyle = \lim_{n \to \infty} {} 8 \left( 1 - \frac{{1}}{n + 1} \right)$ $\displaystyle = 8$ 이다.

한편 주어진 무한급수의 일반항은 $\displaystyle a_{n} = \frac{{4 ( 2 n^{2} - 1 )}}{\left\{ n ( n + 1 ) \right\}^{2}}$ 이고, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle 0 \le a_{n} = \frac{{4 ( 2 n^{2} - 1 )}}{\left\{ n ( n + 1 ) \right\}^{2}} \le \frac{{8 n^{2}}}{n^{2} ( n + 1 )^{2}} = \frac{{8}}{( n + 1 )^{2}} \le \frac{{8}}{n ( n + 1 )} = b_{n}$이므로 제시문 [다]에 의하여 무한급수 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$은 수렴한다.

이제 그 합을 구해보면 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}= \lim_{n \to \infty} {\sum_{k = 1}^{n} \frac{{4 ( 2 k^{2} - 1 )}}{\left\{ k ( k + 1 ) \right\}^{2}}}$이므로, 각 항을 부분분수로 고치기 위하여 $\displaystyle \frac{{4 ( 2 k^{2} - 1 )}}{\left\{ k ( k + 1 ) \right\}^{2}} = 4 \left\{ \frac{{a k + b}}{k^{2}} - \frac{{c k + d}}{( k + 1 )^{2}} \right\}$ 라 두고 $\displaystyle a , b , c , d$를 구하면 $\displaystyle a = 2 , b = - 1 , c = 2 , d = 1$이다.따라서 무한급수의 부분합은$\displaystyle S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{{4 ( 2 k^{2} - 1 )}}{\left\{ k ( k + 1 ) \right\}^{2}}= \sum_{k = 1}^{n} 4 \left\{ \frac{{2 k - 1}}{k^{2}} - \frac{{2 k + 1}}{( k + 1 )^{2}} \right\}$ $\displaystyle = 4 \left\{ 1 - \frac{{2 n + 1}}{( n + 1 )^{2}} \right\}= \left\{ \frac{{2 n}}{( n + 1 )} \right\}^{2}$이고, 무한급수의 합은 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}= \lim_{n \to \infty} {S_{n}}= \lim_{n \to \infty} {\left\{ \frac{{2 n}}{( n + 1 )} \right\}^{2}}= 4$ 이다.