의학계 3번

3-1. (15점) $\displaystyle S$를 유한닫힌집합이라 하자. $\displaystyle A \in S$이면 조건 (1)에 의하여 $\displaystyle A , A^{2} , A^{3} , . . . , A^{n} , . . . \in S$이다.$\displaystyle | A^{n} | = | A |^{n}$ 이고 $\displaystyle S$ 가 유한집합이므로 $\displaystyle \left\{ | A | , | A |^{2} , | A |^{3} , | A |^{4} , . . . \right\}$는 정수들의 유한집합이다.

그러므로 $\displaystyle | A | \in \left\{ 0 , 1 , - 1 \right\}$ 이다.

그리고 $\displaystyle A \in S \subseteq M$ 이므로 $\displaystyle A = \left( {\begin{matrix}a & - b \\ b & a - b\end{matrix}} \right)$라고 나타낼 수 있다.

그런데, $\displaystyle | A | = a^{2} - a b + b^{2} = ( a - \frac{{b}}{2} )^{2} + \frac{{3}}{4} b^{2} \geq 0$ 이므로 $\displaystyle | A | \in \left\{ 0 , 1 \right\}$이다.

역으로 $\displaystyle \left\{ \left( {\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{matrix}} \right) , \left( {\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{matrix}} \right) \right\}$는 (1)와 (2)를 만족하는 $\displaystyle M$의 부분집합이므로 답은 $\displaystyle \left\{ 0 , 1 \right\}$ 이다.

3-2. (10점) $\displaystyle A = \left( {\begin{matrix}a & - b \\ b & a - b\end{matrix}} \right)$ 모양의 행렬로서 $\displaystyle | A | = a^{2} - a b + b^{2} \in \left\{ 0 , 1 \right\}$ 인 행렬에 대해서$\displaystyle 0 \leq \frac{{3}}{4} a^{2} \leq ( b - \frac{{a}}{2} )^{2} + \frac{{3}}{4} a^{2} = a^{2} - a b + b^{2}$ 과 $\displaystyle 0 \leq \frac{{3}}{4} b^{2} \leq ( a - \frac{{b}}{2} )^{2} + \frac{{3}}{4} b^{2} = a^{2} - a b + b^{2}$

을 성립시키는 $\displaystyle ( a , b )$는 $\displaystyle \left\{ ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( - 1 , 0 ) , ( 0 , - 1 ) , ( 1 , 1 ) , ( - 1 , - 1 ) \right\}$ 의 원소 중의 하나이다.

그러므로 $\displaystyle A$는 $\displaystyle W = \left\{ \left( {\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{matrix}} \right) , \left( {\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{matrix}} \right) , \left( {\begin{matrix}0 & - 1 \\ 1 & - 1\end{matrix}} \right) , \left( {\begin{matrix}- 1 & 0 \\ 0 & - 1\end{matrix}} \right) , \left( {\begin{matrix}0 & 1 \\ - 1 & 1\end{matrix}} \right) , \left( {\begin{matrix}1 & - 1 \\ 1 & 0\end{matrix}} \right) , \left( {\begin{matrix}- 1 & 1 \\ - 1 & 0\end{matrix}} \right) \right\}$의 원소 중의 하나이다

그런데, $\displaystyle O$는 영행렬, $\displaystyle I$는 단위행렬, $\displaystyle X = \left( {\begin{matrix}0 & 1 \\ - 1 & 1\end{matrix}} \right)$ 이라고 하면, $\displaystyle W = \left\{ O , I , X , X^{2} , X^{3} , X^{4} , X^{5} \right\}$ 가 된다.$\displaystyle X^{6} = I$ 이므로 $\displaystyle W$ 는 유한닫힌집합이다.

따라서, $\displaystyle W$ 의 각 원소는 유한닫힌집합의 원소이다.

3-3. (15점) $\displaystyle X$에 대하여 $\displaystyle X^{3} = - I , X^{4} = - X^{2} , X^{5} = - X , X^{6} = I$ 가 성립한다.

$\displaystyle S$를 임의의 유한닫힌집합이라고 하면, 2-2에 의하여 $\displaystyle S \subseteq W$ 이다. 따라서, 아래의 사실을 알 수 있다.(1) $\displaystyle I \in S$ ($\displaystyle \because$ $\displaystyle X^{k} \in S$ 이면, $\displaystyle I = I^{k} = ( X^{6} )^{k} = ( X^{k} )^{6} \in S$.)(2) $\displaystyle \left\{ I \right\} , \left\{ I , X , X^{2} , X^{3} , X^{4} , X^{5} \right\}$는 조건 (가)와 (나)를 만족한다. ($\displaystyle \because$ $\displaystyle X^{6} = I$)(3) $\displaystyle X \in S$ 혹은 $\displaystyle X^{5} \in S$이면 $\displaystyle S = \left\{ I , X , X^{2} , X^{3} , X^{4} , X^{5} \right\}$. ($\displaystyle \because( X^{5} )^{5} = X$)(4) $\displaystyle X^{2} , X^{3} \in S$ 혹은 $\displaystyle X^{4} , X^{3} \in S$이면 $\displaystyle S = \left\{ I , X , X^{2} , X^{3} , X^{4} , X^{5} \right\}$. ($\displaystyle \becauseX^{2} X^{3} = X^{5}$, $\displaystyle X^{4} X^{3} = X$)

따라서, $\displaystyle O$를 포함하지 않는 유한부분집합은 $\displaystyle \left\{ I \right\} , \left\{ I , X^{3} \right\} , \left\{ I , X^{2} , X^{4} \right\} , \left\{ I , X , X^{2} , X^{3} , X^{4} , X^{5} \right\}$ 이다.

이로부터, $\displaystyle O$를 포함하는 유한부분집합은 $\displaystyle \left\{ O \right\} , \left\{ O , I \right\} , \left\{ O , I , X^{3} \right\} , \left\{ O , I , X^{2} , X^{4} \right\} , \left\{ O , I , X , X^{2} , X^{3} , X^{4} , X^{5} \right\}$ 이다.그러므로, 유한부분집합은 위의 9개 뿐이다.