자연계열 3번

3-1. (10점) 고정된 시간 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle A = P_{t} - O_{t} , B = Q_{t} - O_{t} , a = \left\| A \right\| , b = \left\| B \right\|$라 하자.벡터 $\displaystyle A , B$의 사이각을 $\displaystyle \theta$라 하고 $\displaystyle \triangle O_tP_t Q_{t}$의 넓이를 $\displaystyle S_{t}$라 하면$\displaystyle \begin{aligned}S_t&=\triangle O_tP_tQ_t\text{의 넓이}=\frac12ab\sin\theta=\frac12ab\sqrt{1-\cos^2\theta}\\&=\frac12\sqrt{a^2b^2-(A\bullet B)^2}=\frac12\sqrt{(4+1+4t^2)(1+4+9t^2)-(4+6t^2)^2}\\&=\frac12\sqrt{9+17t^2}\end{aligned}$이다.

$\displaystyle \triangle OPQ$의 넓이는 $\displaystyle \frac{{3}}{2}$이므로 $\displaystyle \triangle O_tP_t Q_{t}$의 넓이가 $\displaystyle \triangle OPQ$의 넓이의 $\displaystyle 2$배가 될 때$\displaystyle 2 = \frac{{S_{t}}}{S_{0}} = \frac{{\sqrt{9 + 17 t^{2}}}}{3}$ 가 성립한다. 따라서 $\displaystyle t = \frac{{3 \sqrt{51}}}{17}$이다.

3-2. (10점) 세 점 $\displaystyle O_{t} , P_{t} , Q_{t}$을 지나는 평면 $\displaystyle \pi_{t}$의 방정식은 $\displaystyle \pi_{t} : a x + b y + c z + d = 0$ 에 좌표를 대입하여 풀면 $\displaystyle \pi_{t} : t x + 4 t y - 3 z + 3 t = 0$ 이다.

평면 $\displaystyle \pi_{t}$의 법선벡터는 $\displaystyle {\overrightarrow{u}} = ( t , 4 t , - 3 )$이고 $\displaystyle x y$ 평면의 법선벡터는 $\displaystyle {\overrightarrow{v}} = ( 0 , 0 , 1 )$이다.

두 평면의 이면각을 $\displaystyle \lambda ( t )$라 하면$\displaystyle \cos \lambda ( t ) = \frac{{\left| {\overrightarrow{u}} \cdot {\overrightarrow{v}} \right|}}{\left\| {\overrightarrow{u}} \right\| \left\| {\overrightarrow{v}} \right\|} = \frac{{| t \times 0 + 4 t \times 0 + ( - 3 ) \times 1 |}}{\sqrt{t^{2} + ( 4 t )^{2} + ( - 3 )^{2}} \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} = \frac{{3}}{\sqrt{17 t^{2} + 9}}$ 이다.

$\displaystyle \cos \lambda ( t ) = \frac{{3}}{\sqrt{17 t^{2} + 9}}$에서 $\displaystyle t$가 무한히 커지면 $\displaystyle \frac{{3}}{\sqrt{17 t^{2} + 9}}$의 값은 $\displaystyle 0$으로 수렴하므로중간값의 정리에 의하여 $\displaystyle \cos \lambda ( t )$는 $\displaystyle ( 0 , \lambda ( 0 ) ] = ( 0 , 1 ]$의 값을 모두 갖는다.Correction. 여기서 구하는 것은 $\displaystyle \cos\lambda(t)$의 범위이므로 오른쪽 끝값은 $\displaystyle \lambda(0)$이 아니라 $\displaystyle \cos\lambda(0)=1$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

그러므로 $\displaystyle \lambda ( t )$가 가질 수 있는 값의 범위는 $\displaystyle [ 0 , \infty )$이다.Correction. $\displaystyle \cos\lambda(t)\in(0,1]$이므로 두 평면의 사이각의 범위는 $\displaystyle 0\le\lambda(t)<\frac\pi2$이다. 원문의 $\displaystyle [0,\infty)$는 시간 $\displaystyle t$의 범위이며 각 $\displaystyle \lambda(t)$의 범위가 아니다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

3-3. (10점) $\displaystyle \angle P_{t}^{\prime} O_{t}^{\prime} Q_{t}^{\prime}$ 의 크기 $\displaystyle \theta ( t )$에 대하여$\displaystyle \cos \theta ( t ) = \frac{{\left| {\overrightarrow{O_{t}^{\prime} P_{t}}}^{\prime} \cdot {\overrightarrow{O_{t}^{\prime} Q_{t}^{\prime}}} \right|}}{\left\| {\overrightarrow{O_{t}^{\prime} P_{t}^{\prime}}} \right\| \left\| {\overrightarrow{O_{t}^{\prime} Q_{t}^{\prime}}} \right\|} = \frac{{( 0 , 1 , 2 t ) \cdot ( 0 , 2 , 3 t )}}{\left\| ( 0 , 1 , 2 t ) \right\| \left\| ( 0 , 2 , 3 t ) \right\|} =\frac{{2 + 6 t^{2}}}{\sqrt{1 + 4 t^{2}} \sqrt{4 + 9 t^{2}}}$이다.

$\displaystyle f ( t ) = \cos \theta ( t ) = \frac{{2 + 6 t^{2}}}{\sqrt{1 + 4 t^{2}} \sqrt{4 + 9 t^{2}}}$라 두면, $\displaystyle f ( t )$가 최소일 때 $\displaystyle \theta ( t )$가 최대이다.

$\displaystyle f^{\prime} ( t ) = \frac{{2 t \sqrt{3 t^{2} - 1}}}{\left( 1 + 4 t^{2} \right)^{\frac{{3}}{2}} \left( 4 + 9 t^{2} \right)^{\frac{{3}}{2}}}$ = 0 이면 $\displaystyle t = \frac{{\sqrt{3}}}{3}$ 이고, 따라서 $\displaystyle f ( t )$는 $\displaystyle t = \frac{{\sqrt{3}}}{3}$에서 극소값을 가진다.Correction. 도함수의 분자는 $\displaystyle 2t\sqrt{3t^2-1}$이 아니라 $\displaystyle 2t(3t^2-1)$이다. 이를 이용하면 $\displaystyle t=\frac{\sqrt3}{3}$을 경계로 도함수의 부호가 음에서 양으로 바뀐다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

한편 $\displaystyle f ( 0 ) = 1$이고, $\displaystyle t$가 한없이 커지면 $\displaystyle f ( t )$는 $\displaystyle 1$에 수렴하므로, $\displaystyle f ( t )$는 $\displaystyle t = \frac{{\sqrt{3}}}{3}$에서 최소값을 가진다. 그러므로 $\displaystyle t = \frac{{\sqrt{3}}}{3}$일 때, $\displaystyle \theta ( t )$의 값이 최대이다.