의학계 2번

2-1. $\displaystyle \triangle\mathrm{ABC}$의 넓이를 $\displaystyle S$라 하면, $\displaystyle S=\frac{1}{2}\overline{\mathrm{AB}}\times\overline{\mathrm{CH}}$이고, 또 $\displaystyle S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$이므로$\displaystyle S=\frac{1}{2}(p+2p)q=\frac{1}{2}r(a+b+c)$, 즉 $\displaystyle \frac{3}{2}pq=\frac{3}{2}r$이 성립한다. 따라서, $\displaystyle r=pq$ 이다.

편의상 $\displaystyle H$의 좌표를 $\displaystyle (0,0)$이라 두면 점 $\displaystyle A$, $\displaystyle C$, $\displaystyle O$의 좌표는 각각 $\displaystyle (-p,0)$, $\displaystyle (0,q)$, $\displaystyle (d,r)$ 이다.그러면 직선 $\displaystyle \overleftrightarrow{\mathrm{AC}}$의 방정식은 $\displaystyle y=\frac{q}{p}x+q$이므로 $\displaystyle qx-py+pq=0$가 성립한다.점 $\displaystyle O(d,r)$와 이 직선 사이의 거리는 공식에 의하여 $\displaystyle r=\frac{qd-pr+pq}{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}$이다(※ 점 $\displaystyle O(d,r)$는 이 직선의 아래에 있으므로 $\displaystyle r<\frac{q}{p}d+q$ 이다. 즉 $\displaystyle qd-pr+pq>0$ 이다).

그러므로 $\displaystyle d=\frac{r\sqrt{p^{2}+q^{2}}+pr-pq}{q}=\frac{pq\sqrt{p^{2}+q^{2}}+p^{2}q-pq}{q}=p\left(p+\sqrt{p^{2}+q^{2}}-1\right)$ 이다.(다른 풀이) 점 $\displaystyle O$와 직선 $\displaystyle \overleftrightarrow{\mathrm{BC}}$ 사이의 거리가 $\displaystyle r$이라는 사실로부터 위와 같은 과정을 거쳐 $\displaystyle d=\left(2-2p-\sqrt{4p^{2}+q}\right)$을 구할 수도 있다.Correction. 다른 풀이에서 $\displaystyle d=p(2-2p-\sqrt{4p^2+q^2})$로 써야 한다. 첫 식에는 괄호 앞의 $\displaystyle p$와 $\displaystyle q$의 제곱이, 다음 등식에는 $\displaystyle q$의 제곱이 빠졌다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.($\displaystyle r=pq$ 이므로 $\displaystyle d=p\left(p+\sqrt{p^{2}+q^{2}}-1\right)=p\left(2-2p-\sqrt{4p^{2}+q}\right)$ 이다.)

2-2. 내접하는 원의 넓이 $\displaystyle \pi r^{2}$가 최대가 되는 경우는 $\displaystyle r$이 최대가 될 때이다. $\displaystyle m=\frac{q}{p}$이라 두자.조건 $\displaystyle 3=a+b+c$에 의하여 $\displaystyle 3=3p+\sqrt{p^{2}+q^{2}}+\sqrt{4p^{2}+q^{2}}$ 이다. 따라서$\displaystyle \frac{3}{p}=3+\sqrt{1+\left(\frac{q}{p}\right)^{2}}+\sqrt{4+\left(\frac{q}{p}\right)^{2}}=3+\sqrt{1+m^{2}}+\sqrt{4+m^{2}}$,즉, $\displaystyle p=\frac{3}{3+\sqrt{1+m^{2}}+\sqrt{4+m^{2}}}$ 이다.따라서, $\displaystyle r=pq=p^{2}\frac{q}{p}=m\left(\frac{3}{3+\sqrt{1+m^{2}}+\sqrt{4+m^{2}}}\right)^{2}$ 이다.

$\displaystyle r$이 최대가 되려면 $\displaystyle \sqrt{r}$이 최대가 되어야 한다. $\displaystyle m$은 양수이므로 편의상 $\displaystyle m=t^{2}$이라 두면$\displaystyle \sqrt{r}=\frac{3t}{3+\sqrt{1+t^{4}}+\sqrt{4+t^{4}}}$ 이다. 함수 $\displaystyle f(t)=\frac{t}{3+\sqrt{1+t^{4}}+\sqrt{4+t^{4}}}$라 두고 증가, 감소를 살피자.함수 $\displaystyle f(t)$를 미분하면$\displaystyle \begin{aligned} f^{\prime}(t) &=\frac{1\left(3+\sqrt{1+t^{4}}+\sqrt{4+t^{4}}\right)-t\left(0+\frac{4t^{3}}{2\sqrt{1+t^{4}}}+\frac{4t^{3}}{2\sqrt{4+t^{4}}}\right)}{\left(3+\sqrt{1+t^{4}}+\sqrt{4+t^{4}}\right)^{2}} \\\\ &=\frac{3+\sqrt{1+t^{4}}-\frac{2t^{4}}{\sqrt{1+t^{4}}}+\sqrt{4+t^{4}}-\frac{2t^{4}}{\sqrt{4+t^{4}}}}{\left(3+\sqrt{1+t^{4}}+\sqrt{4+t^{4}}\right)^{2}}=\frac{3+\frac{1-t^{4}}{\sqrt{1+t^{4}}}+\frac{4-t^{4}}{\sqrt{4+t^{4}}}}{\left(3+\sqrt{1+t^{4}}+\sqrt{4+t^{4}}\right)^{2}} \end{aligned}$그러므로 $\displaystyle 0<t<1$에서 함수 $\displaystyle f^{\prime}(t)>0$ 이고 따라서 $\displaystyle f(t)$는 증가함수이다.따라서 $\displaystyle 0<t<1$이면 $\displaystyle f(t)<f(1)$이다.

또한, $\displaystyle f^{\prime}(1)\ne 0$이므로 함수 $\displaystyle t=1$은 $\displaystyle f(t)$의 극대점이 아니다. 그러므로, 그러므로 $\displaystyle t\le 1$ 이면 극대점이 아니다.따라서, $\displaystyle m=\frac{q}{p}\le 1$ 일 때, $\displaystyle f(t)$는 최대값을 가지지 않는다.따라서, 이 경우에 내접원의 반지름이나 내접원의 넓이는 최대가 아니다. 그러므로, 내접하는 원의 넓이가 최대이면 $\displaystyle m>1$, 즉 $\displaystyle q>p$이다.