자연계열 1번

1-1. (10점) 제 집합 $\displaystyle A_{n}$의 부분집합 중에서 짝수 개의 원소를 가지는 부분집합의 개수는$\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{0} +{}_{n}\mathrm{C}_{2} +{}_{n}\mathrm{C}_{4} + \cdots +{}_{n}\mathrm{C}_{k}$ (단, $\displaystyle k$는 $\displaystyle n$보다 크지 않는 최대 짝수)

이다. 제시문 [나]의 이항정리를 이용하여 $\displaystyle \left( 1 + x \right)^{n}$을 전개하면$\displaystyle \left( 1 + x \right)^{n} ={}_{n}\mathrm{C}_{0} +{}_{n}\mathrm{C}_{1} x +{}_{n}\mathrm{C}_{2} x^{2} + \cdots +{}_{n}\mathrm{C}_{r} x^{r} + \cdots +{}_{n}\mathrm{C}_{n} x^{n}$

이고, 양변에 $\displaystyle x = 1$을 대입하면 $\displaystyle 2^{n} ={}_{n}\mathrm{C}_{0} +{}_{n}\mathrm{C}_{1} +{}_{n}\mathrm{C}_{2} + \cdots +{}_{n}\mathrm{C}_{n}$,또, 양변에 $\displaystyle x = - 1$을 대입하면 $\displaystyle 0 ={}_{n}\mathrm{C}_{0} -{}_{n}\mathrm{C}_{1} +{}_{n}\mathrm{C}_{2} - \cdots +{}_{n}\mathrm{C}_{n} ( - 1 )^{n}$.이 두식을 항별로 더하면, $\displaystyle 2^{n} = 2{}_{n}\mathrm{C}_{0} + 2{}_{n}\mathrm{C}_{2} + 2{}_{n}\mathrm{C}_{4} + \cdots + 2{}_{n}\mathrm{C}_{k}$ 이고,따라서 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{0} +{}_{n}\mathrm{C}_{2} +{}_{n}\mathrm{C}_{4} + \cdots +{}_{n}\mathrm{C}_{k} = 2^{n - 1}$ 이다.그러므로 집합 $\displaystyle A_{n}$의 부분집합 중에서 짝수 개의 원소를 가지는 부분집합의 개수는 $\displaystyle 2^{n - 1}$이다.

1-2. (10점) 집합 $\displaystyle A_{8}$의 부분집합 중에서 원소의 개수가 $\displaystyle 3$개인 부분집합의 개수는 $\displaystyle {}_{8}\mathrm{C}_{3} = 56$이고, 이 56개의 부분집합(원소의 개수가 3개인 집합 $\displaystyle A_{8}$의 부분집합) 중에서$\displaystyle A_{8}$의 각 원소 $\displaystyle j = 1 , 2 , \cdots , 8$에 대하여, $\displaystyle j$를 포함하면서 원소의 개수가 3인 부분집합은 $\displaystyle j$를 제외한 나머지 원소들 중에서 2개를 택하여 만들 수 있으므로, 그러한 부분집합의 개수는 $\displaystyle {}_{7}\mathrm{C}_{2} = 21$ 이다.

그러므로 $\displaystyle \sum_{i = 1}^{k} S \left( B_{i} \right) = \sum_{j = 1}^{8} 21 \cdot j = 21 \cdot ( 1 + 2 + \cdots + 8 ) = 756$이다.

1-3. (10점) $\displaystyle \left( 1 + x \right)^{n}$의 일반항은 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{r} x^{r}( 0 \leq r \leq n )$이고 $\displaystyle \left( 1 + x \right)^{m}$의 일반항은 $\displaystyle {}_{m}\mathrm{C}_{s} x^{s}( 0 \leq s \leq m )$이므로$\displaystyle \left( 1 + x \right)^{n} \left( 1 + x \right)^{m}$의 일반항은 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{r} x^{r} \cdot{}_{m}\mathrm{C}_{s} x^{s} ={}_{n}\mathrm{C}_{r} \cdot{}_{m}\mathrm{C}_{s} x^{r + s}$ 이다.

따라서 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{0} \cdot{}_{m}\mathrm{C}_{k} +{}_{n}\mathrm{C}_{1} \cdot{}_{m}\mathrm{C}_{k - 1} +{}_{n}\mathrm{C}_{2} \cdot{}_{m}\mathrm{C}_{k - 2} + \cdots +{}_{n}\mathrm{C}_{k} \cdot{}_{m}\mathrm{C}_{0}$은 $\displaystyle \left( 1 + x \right)^{n} \left( 1 + x \right)^{m}$의 전개식에서$\displaystyle x^{k}$의 계수의 합이다.항등식 $\displaystyle \left( 1 + x \right)^{n} \left( 1 + x \right)^{m} = \left( 1 + x \right)^{n + m}$이 성립하므로$\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{0} \cdot{}_{m}\mathrm{C}_{k} +{}_{n}\mathrm{C}_{1} \cdot{}_{m}\mathrm{C}_{k - 1} +{}_{n}\mathrm{C}_{2} \cdot{}_{m}\mathrm{C}_{k - 2} + \cdots +{}_{n}\mathrm{C}_{k} \cdot{}_{m}\mathrm{C}_{0}$은 $\displaystyle \left( 1 + x \right)^{n + m}$의 전개식에서 $\displaystyle x^{k}$의 계수$\displaystyle {}_{n + m}\mathrm{C}_{k}$와 같다.그러므로 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{0} \cdot{}_{m}\mathrm{C}_{k} +{}_{n}\mathrm{C}_{1} \cdot{}_{m}\mathrm{C}_{k - 1} +{}_{n}\mathrm{C}_{2} \cdot{}_{m}\mathrm{C}_{k - 2} + \cdots +{}_{n}\mathrm{C}_{k} \cdot{}_{m}\mathrm{C}_{0} ={}_{n + m}\mathrm{C}_{k}$이다.