부산대 2016학년도 모의 2차 자연계열 2번 해설

【문항 2】다음 제시문을 근거로 하여 논제에 답하시오. (30점)

[가] 수열 $\displaystyle \left\{ a_{n} \right\} , \left\{ b_{n} \right\}$ 이 모두 수렴하고, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} {} a_{n} = \alpha , \lim_{n \to \infty} {} b_{n} = \beta$ 일 때, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} {a_{n} b_{n}} = \lim_{n \to \infty} {a_{n}} \cdot \lim_{n \to \infty} {b_{n}} = \alpha \beta$ 가 성립한다.

[나] $\displaystyle \lim_{x \to 0} {\frac{{\tan x}}{x} = 1}$ 이다.

[다] 탄젠트함수에 대하여 다음의 덧셈정리가 성립한다. $\displaystyle \tan ( \alpha + \beta ) = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta}}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ , $\displaystyle \tan ( \alpha - \beta ) = \frac{{\tan \alpha - \tan \beta}}{1 + \tan \alpha \tan \beta} .$

그림과 같이 밑변과 높이가 모두 1인 직각이등변 삼각형 $\displaystyle \triangle ABC$ 에서 수직인 변 $\displaystyle {\overline{BC}}$ 를 $\displaystyle n$ 등분하는 점들을 꼭짓점 $\displaystyle B$ 에서 가까운 순서대로 $\displaystyle P_{0} = B , P_{1} , P_{2} , \cdots , P_{n} = C$ 이라 하고, 각 $\displaystyle \angle P_{k - 1} AP_{k}$ 의 크기를 $\displaystyle \theta_{k}^{( n )}$ 로 나타내기로 하자.

2-1. $\displaystyle \tan \theta_{k}^{( n )}$ 를 $\displaystyle n$ 과 $\displaystyle k$ 에 관한 식으로 나타내시오. (15점)

2-2. 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 위에서 구한 $\displaystyle \tan \theta_{k}^{( n )}$ 를 이용하여, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\frac{{\theta_{n}^{( n )}}}{\theta_{1}^{( n )}}}$ 의 값을 구하시오. (15점)

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+15점 · 탄젠트 덧셈정리로 식 정리

2-1. (15점) 임의의 $\displaystyle m$ 에 대하여 $\displaystyle \frac{{m}}{n} = \tan ( \sum_{i = 1}^{m} \theta_{i}^{( n )} )$ 이고 $\displaystyle \tan ( \alpha + \beta ) = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta}}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ 라는 사실로부터 $\displaystyle \frac{{k}}{n} = \tan ( \sum_{i = 1}^{k} \theta_{i}^{( n )} ) = \tan ( \theta_{k}^{( n )} + \sum_{i = 1}^{k - 1} \theta_{i}^{( n )} ) = \frac{{\tan ( \theta_{k}^{( n )} ) + \tan ( \sum_{i = 1}^{k - 1} \theta_{i}^{( n )} )}}{1 - \tan ( \theta_{k}^{( n )} ) \tan ( \sum_{i = 1}^{k - 1} \theta_{i}^{( n )} )} = \frac{{\tan ( \theta_{k}^{( n )} ) + \frac{{k - 1}}{n}}}{1 - \tan ( \theta_{k}^{( n )} ) \frac{{k - 1}}{n}}$ 가 성립하므로, 이를 정리하여 $\displaystyle \tan ( \theta_{k}^{( n )} ) = \frac{{n}}{n^{2} + k ( k - 1 )}$ 를 얻는다.

+15점 · 삼각함수의 극한

2-2. (15점) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\frac{{\theta_{n}^{( n )}}}{\theta_{1}^{( n )}}} = \left( \lim_{n \to \infty} {\frac{{\theta_{n}^{( n )}}}{\tan ( \theta_{n}^{( n )} )}} \right) \cdot \left( \lim_{n \to \infty} {\frac{{\tan ( \theta_{n}^{( n )} )}}{\tan ( \theta_{1}^{( n )} )}} \right) \cdot \left( \lim_{n \to \infty} {\frac{{\tan ( \theta_{1}^{( n )} )}}{\theta_{1}^{( n )}}} \right)$ $\displaystyle = 1 \cdot \left( \lim_{n \to \infty} {\frac{{\frac{{n}}{2 n^{2} - n}}}{\frac{{1}}{n}}} \right) \cdot 1 = \left( \lim_{n \to \infty} {\frac{{1}}{2 - \frac{{1}}{n}}} \right) = \frac{{1}}{2}$

(모범답안과 다른 방법으로 논술한 합당한 답안도 모두 인정한다)

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자연계열 2번

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