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의학계 1번

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부산대 2016학년도 모의 2차 의학계 1번 · mathesis.kr/archive/pusan/2016mo_2/uihak_1

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【문항 1】다음 제시문을 근거로 하여 논제에 답하시오. (30점)

[가] 좌표평면의 임의의 두 벡터 a→=(a1,a2),b→=(b1,b2)\displaystyle {\overrightarrow{a}} = ( a_{1} , a_{2} ) , {\overrightarrow{b}} = ( b_{1} , b_{2} )에 대하여, a→\displaystyle {\overrightarrow{a}}와 b→\displaystyle {\overrightarrow{b}}의 내적을a→∙b→=a1b1+a2b2\displaystyle {\overrightarrow{a}} \bullet {\overrightarrow{b}} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}로 정의하고, 벡터 a→=(a1,a2)\displaystyle {\overrightarrow{a}} = ( a_{1} , a_{2} )의 길이(또는 크기)를∣a→∣\displaystyle | {\overrightarrow{a}} | = a12+a22\displaystyle \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}로 나타낸다.

[나] lim⁡x→0sin⁡xx=1\displaystyle \lim_{x \to 0} {\frac{{\sin x}}{x} = 1} 이다.

1-1. 좌표평면의 임의의 두 벡터 a→=(a1,a2)\displaystyle {\overrightarrow{a}} = ( a_{1} , a_{2} )와 b→=(b1,b2)\displaystyle {\overrightarrow{b}} = ( b_{1} , b_{2} )가 이루는 각의 크기를 θ\displaystyle \theta라고 할 때,a→∙b→=∣a→∣∣b→∣cos⁡θ\displaystyle {\overrightarrow{a}} \bullet {\overrightarrow{b}} = | {\overrightarrow{a}} | | {\overrightarrow{b}} | \cos \theta임을 증명하시오. (10점)

1-2. 점O(0,0),A(a1,a2),B(b1,b2)\displaystyle O ( 0 , 0 ) , A ( a_{1} , a_{2} ) , B ( b_{1} , b_{2} )를 세 꼭짓점으로 하는 삼각형 \triangleOAB\displaystyle \triangleOAB의 넓이를 S\displaystyle S라고 할 때,S=∣a1b2−a2b1∣2\displaystyle S = \frac{{| a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} |}}{2}임을 증명하시오. (10점)

1-3. 반지름이 r\displaystyle r인 원에 내접하는 정n\displaystyle n각형의 넓이를 Sn\displaystyle S_{n}이라고 할 때, 제시문 [나]를 이용하여lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_{n}의 값을 구하시오. (10점)

해설강의 준비중

부산대 2016학년도 모의 2차 의학계 1번 · mathesis.kr/archive/pusan/2016mo_2/uihak_1

+3점 · 피타고라스 정리

1-1. (10점)

두 벡터로 만든 삼각형과 수선의 길이

먼저, α\displaystyle \alpha = ∣a→∣\displaystyle | {\overrightarrow{a}} |, β=∣b→∣\displaystyle \beta = | {\overrightarrow{b}} |, γ=∣a→−b→∣\displaystyle \gamma = | {\overrightarrow{a}} - {\overrightarrow{b}} | 라 두자. 삼각형 \triangleOAB\displaystyle \triangleOAB의 꼭지점 A\displaystyle A에서 밑변 위로 수선을 내렸을 때, 만나는 점을 C 라 두고 그 수선의 길이를 d 라고 하자. 그리고 q=∣a→∣cos⁡θ\displaystyle q = | {\overrightarrow{a}} | \cos \theta라 두자. 그러면, 피타고라스 정리에 의하여,α2=q2+d2=q2+γ2−(β−q)2=q2+γ2−β2+2βq−q2=γ2−β2+2βq\displaystyle \alpha^{2} = q^{2} + d^{2} = q^{2} + \gamma^{2} - ( \beta - q )^{2} = q^{2} + \gamma^{2} - \beta^{2} + 2 \beta q - q^{2} = \gamma^{2} - \beta^{2} + 2 \beta q

+3점 · 벡터의 크기

이고, 벡터의 크기에 의하여α2=a12+a22,β2=b12+b22\displaystyle \alpha^{2} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} , \beta^{2} = b_{1}^{2} + b_{2}^{2}γ2=(a1−b1)2+(a2−b2)2=a12+a22+b12+b22−2(a1b1+a2b2)=α2+β2−2(a1b1+a2b2).\displaystyle \gamma^{2} = ( a_{1} - b_{1} )^{2} + ( a_{2} - b_{2} )^{2} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + b_{1}^{2} + b_{2}^{2} - 2 ( a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} ) = \alpha^{2} + \beta^{2} - 2 ( a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} ) .

+4점 · 내적

위의 식들에 의하여, ∣a→∣∣b→∣cos⁡θ=βq\displaystyle | {\overrightarrow{a}} | | {\overrightarrow{b}} | \cos \theta = \beta q =a1b1+a2b2\displaystyle = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} 이다.

+2점 · 1-1에 의한 코사인

1-2. (10점) 1-1에 의하여 cos⁡θ=a→∙b→∣a→∣∣b→∣\displaystyle \cos \theta = \frac{{{\overrightarrow{a}} \bullet {\overrightarrow{b}}}}{| {\overrightarrow{a}} | | {\overrightarrow{b}} |} 이다.

+3점 · 삼각형의 넓이

또 삼각형 \triangleOAB\displaystyle \triangleOAB의 넓이는 S=12∣a→∣∣b→∣sin⁡θ\displaystyle S = \frac{{1}}{2} | {\overrightarrow{a}} | | {\overrightarrow{b}} | \sin \theta이다.

+5점 · 넓이 식 정리

그러므로S=12∣a→∣∣b→∣1−(a→∙b→∣a→∣∣b→∣)2=12(∣a→∣∣b→∣)2−(a→∙b→)2=12(a12+a22)(b12+b22)−(a1b1+a2b2)2=12a12b22+a22b12−2a1b1a2b2=12(a1b2−a2b1)2=12∣a1b2−a2b1∣\displaystyle \begin{aligned}S &= \frac{{1}}{2} | {\overrightarrow{a}} | | {\overrightarrow{b}} | \sqrt{1 - \left( \frac{{{\overrightarrow{a}} \bullet {\overrightarrow{b}}}}{| {\overrightarrow{a}} | | {\overrightarrow{b}} |} \right)^{2}} = \frac{{1}}{2} \sqrt{( | {\overrightarrow{a}} | | {\overrightarrow{b}} | )^{2} - ( {\overrightarrow{a}} \bullet {\overrightarrow{b}} )^{2}} = \frac{{1}}{2} \sqrt{( a_{1}^{2} + a_{2}^{2} ) ( b_{1}^{2} + b_{2}^{2} ) - ( a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} )^{2}} \\ &= \frac{{1}}{2} \sqrt{a_{1}^{2} b_{2}^{2} + a_{2}^{2} b_{1}^{2} - 2 a_{1} b_{1} a_{2} b_{2}} = \frac{{1}}{2} \sqrt{( a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} )^{2}} = \frac{{1}}{2} | a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} |\end{aligned}이다.

+3점 · 정다각형의 꼭지점

1-3. (10점) 중심이 원점O\displaystyle O(0,0)이며 반경이 r\displaystyle r인 원의 원주 위에 놓여 있는 n\displaystyle n개의 점 Ak=(rcos⁡2kπn,rsin⁡2kπn)\displaystyle A_{k} = ( r \cos \frac{{2 k \pi}}{n} , r \sin \frac{{2 k \pi}}{n} )(k=0,1,...,n−1)\displaystyle ( k = 0 , 1 , . . . , n - 1 )을 꼭지점으로 가지는 정n\displaystyle n각형을 생각하자. 그리하면,A0=(r,0),A1=(rcos⁡2πn,rsin⁡2πn)\displaystyle A_{0} = ( r , 0 ) , A_{1} = ( r \cos \frac{{2 \pi}}{n} , r \sin \frac{{2 \pi}}{n} ) 이다.

+4점 · 정다각형의 넓이

Sn\displaystyle S_{n}은 삼각형 \triangleOA0A1\displaystyle \triangleOA_{0} A_{1}의 넓이의 n\displaystyle n배이므로, 1-2에 의하여Sn=n⋅△OA0A1=n⋅12∣r⋅rsin⁡2πn+0⋅rcos⁡2πn∣=nr22sin⁡2πn\displaystyle S_{n} = n \cdot \triangle OA_{0} A_{1} = n \cdot \frac{{1}}{2} | r \cdot r \sin \frac{{2 \pi}}{n} + 0 \cdot r \cos \frac{{2 \pi}}{n} | = \frac{{n r^{2}}}{2} \sin \frac{{2 \pi}}{n}

+3점 · 넓이의 극한

이다. 그러므로lim⁡n→∞Sn=lim⁡n→∞nr22sin⁡2πn=πr2⋅lim⁡n→∞sin⁡2πn2πn=πr2⋅1=πr2\displaystyle \lim_{n \to \infty} {S_{n} = \lim_{n \to \infty} {\frac{{n r^{2}}}{2} \sin \frac{{2 \pi}}{n} = \pi r^{2} \cdot \lim_{n \to \infty} {\frac{{\sin \frac{{2 \pi}}{n}}}{\frac{{2 \pi}}{n}} = \pi r^{2} \cdot 1 = \pi r^{2}}}}

(모범답안과 다른 방법으로 논술한 합당한 답안도 모두 인정한다)

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