의학계 2번

2-1. (10점) 점 $\displaystyle P$의 속도가 2 이므로 시간 $\displaystyle t$에 원점으로 부터의 거리는 $\displaystyle F ( t ) = 1 + \int_{0}^{t} {2 d x} = 1 + 2 t$이다.

반직선 $\displaystyle {\overrightarrow{OX}}$ 와 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각이 $\displaystyle t$(라디안)이므로 $\displaystyle ( x , y ) = ( ( 1 + 2 t ) \cos t , ( 1 + 2 t ) \sin t )$ 이다.따라서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 자취 $\displaystyle C$의 매개변수 방정식은$\displaystyle x = ( 1 + 2 t ) \cos t , y = ( 1 + 2 t ) \sin t$이다.

2-2. (10점) 2-1에 의하여 시각 $\displaystyle t$에 점 $\displaystyle P_{t}$의 좌표는 $\displaystyle ( ( 1 + 2 t ) \cos t , ( 1 + 2 t ) \sin t )$이다.접선 $\displaystyle l$이 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각을 $\displaystyle \beta$, 직선 $\displaystyle OP_{t}$가 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각을 $\displaystyle \alpha$라고 하면, 접선 $\displaystyle l$과 직선 $\displaystyle OP_{t}$가 이루는 각은 $\displaystyle \theta_{t} = \beta - \alpha$ 이다. 한편$\displaystyle \tan \beta = \frac{{d y}}{d x} = \frac{{d y / d t}}{d x / d t} = \frac{{2 \sin t + 2 t \cos t}}{2 \cos t - 2 t \sin t} = \frac{{\sin t + t \cos t}}{\cos t - t \sin t} = \frac{{\tan t + t}}{1 - t \tan t}$ 이고, $\displaystyle \tan \alpha = \tan t$ 이므로Comment. 대학 예시답안의 미분 계산에서 $\displaystyle dy/dt$의 $\displaystyle \cos t$와 $\displaystyle dx/dt$의 $\displaystyle -\sin t$가 빠졌다. 이를 바로잡으면 $\displaystyle \tan\theta_t=t+\frac12$이다. 대학이 구한 $\displaystyle \lim_{t\to\infty}\theta_t=\frac\pi2$라는 결론은 옳다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle \tan ( \beta - \alpha ) = \frac{{\frac{{\tan t + t}}{1 - t \tan t} - \tan t}}{1 + \frac{{\tan t + t}}{1 - t \tan t} \tan t} = \frac{{\tan t + t - \tan t + t \tan^{2} t}}{1 - t \tan t + \tan^{2} t + t \tan t} = \frac{{t ( 1 + \tan^{2} t )}}{1 + \tan^{2} t} = t$

이다. 따라서 $\displaystyle \tan \theta_{t} = \tan ( \beta - \alpha ) = t$ 이고 $\displaystyle \lim_{t \to \infty} {\tan \theta_{t} = \lim_{t \to \infty} {t = \infty}}$ 이다.그러므로 $\displaystyle \lim_{t \to \infty} {\theta_{t}} = \frac{{\pi}}{2}$이고 수렴한다.

2-3. (20점) 시각 $\displaystyle t$에서 점 $\displaystyle P$의 좌표를 $\displaystyle P ( t )$라 하자. $\displaystyle P ( t )$의 좌표는 $\displaystyle ( F ( t ) \cos t , F ( t ) \sin t )$이며제시문 (가)로부터 $\displaystyle \tan \beta = \frac{{d y}}{d x} = \frac{{\frac{{d y}}{d t}}}{\frac{{d x}}{d t}} = \frac{{F^{\prime} ( t ) \sin t + F ( t ) \cos t}}{F^{\prime} ( t ) \cos t - F ( t ) \sin t} = \frac{{\tan t + \frac{{F ( t )}}{F^{\prime} ( t )}}}{1 - \frac{{F ( t )}}{F^{\prime} ( t )} \tan t}$이다.또한 $\displaystyle \theta_{t} = \beta - \alpha$이므로 $\displaystyle \frac{{\tan t + \frac{{F ( t )}}{F^{\prime} ( t )}}}{1 - \frac{{F ( t )}}{F^{\prime} ( t )} \tan t} = \tan \beta = \tan ( \theta_{t} + \alpha ) = \tan ( \theta_{t} + t ) = \frac{{\tan t + \tan \theta_{t}}}{1 - \tan \theta_{t} \tan t}$이다.이를 정리하면 $\displaystyle \tan ( \theta_{t} ) ( 1 + \tan^{2} t ) = \frac{{F ( t )}}{F^{\prime} ( t )} ( 1 + \tan^{2} t )$가 된다. 그러므로 $\displaystyle \tan ( \theta_{t} ) = \frac{{F ( t )}}{F^{\prime} ( t )}$(단, $\displaystyle F^{\prime} ( t ) = f ( t ) = 0$ 이면 $\displaystyle \theta_{t} = \frac{{\pi}}{2}$)이다.여기서, $\displaystyle F^{\prime} ( t ) = f ( t ) \geq 0$ 이고 따라서 $\displaystyle F ( t ) \geq 0$ 이므로 $\displaystyle \tan ( \theta_{t} ) = \frac{{F ( t )}}{F^{\prime} ( t )}$가 음이 아닌 상수이면 $\displaystyle \frac{{1}}{\tan \theta_{t}} = \frac{{F^{\prime} ( t )}}{F ( t )}$도 음이 아닌 상수이다.$\displaystyle \frac{{F^{\prime} ( t )}}{F ( t )} = k$ ($\displaystyle k$는 음이 아닌 상수) 로 두고 양변을 적분하면 $\displaystyle \ln \left| F ( t ) \right| = k t + C$ ($\displaystyle C$는 적분상수)이고,$\displaystyle F ( t ) \geq 0$이므로 $\displaystyle F ( t ) = e^{k t + C}$ (단, $\displaystyle k$는 음이 아닌 상수이고 $\displaystyle C$는 상수) 이다.$\displaystyle F ( 0 ) = 1$ 이므로 $\displaystyle e^{C} = 1$ 이고 따라서 $\displaystyle C = 0$ 이다. 그러므로 $\displaystyle F ( t ) = e^{k t}$ 이고$\displaystyle f ( t ) = F^{\prime} ( t ) = k e^{k t}$ ($\displaystyle k$ 는 음이 아닌 상수) 이다.