의학계 3번

3-1. (10점) $\displaystyle \overrightarrow{OP} = t \overrightarrow{OA} + ( 1 - t ) \overrightarrow{OB} = t \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} - t \overrightarrow{OB}$ 이므로

$\displaystyle \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OB} = t ( \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} )$ 즉 $\displaystyle {\overrightarrow{BP}} = t {\overrightarrow{BA}} ( 0 \leq t \leq 1 )$이다.그러므로 제시문 (나)에 의해 점 $\displaystyle P$의 자취는 선분 $\displaystyle AB$이다.

3-2. (10점) $\displaystyle \frac{{2}}{3} \overrightarrow{OA} + \frac{{1}}{3} \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OQ}$라고 하면 점 $\displaystyle Q$는 제시문 (다)에 의해 선분 $\displaystyle PA$를 2:1로 내분하는 점이다.$\displaystyle L^{2} = \left| \frac{{2}}{3} {\overrightarrow{OA}} + \frac{{1}}{3} {\overrightarrow{OP}} \right|^{2} = \frac{{4}}{9} \left| {\overrightarrow{OA}} \right|^{2} + \frac{{1}}{9} \left| {\overrightarrow{OP}} \right|^{2} + 2 {\overrightarrow{OA}} \bullet {\overrightarrow{OP}} \cos \theta$

이므로, 따라서 $\displaystyle L$이 최대가 되는 경우는 $\displaystyle \theta = 0$일 때이다.$\displaystyle | {\overrightarrow{PA}} | = 3 \sqrt{3} - 3$, $\displaystyle | {\overrightarrow{PQ}} | = \frac{{2}}{3} \left( 3 \sqrt{3} - 3 \right) = 2 \sqrt{3} - 2$

이므로 $\displaystyle L$의 최댓값은 $\displaystyle L = \left| {\overrightarrow{OP}} + {\overrightarrow{PQ}} \right| = 2 \sqrt{3} - 2 + 3 = 1 + 2 \sqrt{3}$ 이다.

3-3. (10점) $\displaystyle {\overrightarrow{AB}} = {\overrightarrow{a}}$, $\displaystyle {\overrightarrow{AD}} = {\overrightarrow{b}}$라 하자.$\displaystyle {\overrightarrow{PQ}} = {\overrightarrow{PA}} + {\overrightarrow{AB}} + {\overrightarrow{BQ}}$ $\displaystyle = - \frac{{1}}{2} {\overrightarrow{b}} + {\overrightarrow{a}} + \frac{{1}}{2} ( m {\overrightarrow{a}} + n {\overrightarrow{b}} )= \frac{{m + 2}}{2} {\overrightarrow{a}} + \frac{{n - 1}}{2} {\overrightarrow{b}}$ .두 대각선 $\displaystyle AC$와 $\displaystyle BD$의 교점을 $\displaystyle R$이라고 하면$\displaystyle \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}= {\overrightarrow{a}} + ( m {\overrightarrow{a}} + n {\overrightarrow{b}} )= ( 1 + m + n ) \bullet \frac{{( 1 + m ) {\overrightarrow{a}} + n {\overrightarrow{b}}}}{1 + m + n}$이고 제시문 (다)에 의해 점 $\displaystyle R$은 선분 $\displaystyle BD$를 내분하는 점이므로$\displaystyle \overrightarrow{AR} = \frac{{( 1 + m ) \overrightarrow{a} + n \overrightarrow{b}}}{1 + m + n}$ $\displaystyle \cdots$ ㉠

점 $\displaystyle R$은 선분 $\displaystyle PQ$위의 점이므로 문제 1에 의해$\displaystyle \overrightarrow{AR} = \overrightarrow{AP} + t \overrightarrow{PQ}= \frac{{1}}{2} {\overrightarrow{b}} + t \left( \frac{{m + 2}}{2} {\overrightarrow{a}} + \frac{{n - 1}}{2} {\overrightarrow{b}} \right)= \frac{{( m + 2 ) t}}{2} {\overrightarrow{a}} + \frac{{( n - 1 ) t + 1}}{2} {\overrightarrow{b}}$ $\displaystyle \cdots$ ㉡이다.

㉠과 ㉡을 비교하면 $\displaystyle \frac{{1 + m}}{1 + m + n} = \frac{{( m + 2 ) t}}{2}$ $\displaystyle \cdots$ ㉢, $\displaystyle \frac{{n}}{1 + m + n} = \frac{{( n - 1 ) t + 1}}{2}$ $\displaystyle \cdots$ ㉣㉢과 ㉣을 더하면 $\displaystyle 1 = \frac{{( m + n + 1 ) t + 1}}{2}$ $\displaystyle \therefore t = \frac{{1}}{m + n + 1}$이를 ㉢에 대입하면 $\displaystyle \frac{{1 + m}}{1 + m + n} = \frac{{m + 2}}{2 ( 1 + m + n )}$ $\displaystyle \therefore m = 0$그러므로 $\displaystyle {\overrightarrow{BC}} = m {\overrightarrow{\mathrm{AB}}} + n {\overrightarrow{\mathrm{AD}}}$에서 $\displaystyle {\overrightarrow{BC}} = n {\overrightarrow{\mathrm{AD}}}$이므로 제시문 (나)에 의해 $\displaystyle {\overrightarrow{BC}}\parallel{\overrightarrow{AD}}$이다.