부산대 2016학년도 모의 2차 의학계 3번 해설

【문항 3】다음 제시문을 근거로 하여 논제에 답하시오. (30점)

[가] 좌표평면 또는 좌표공간의 서로 다른 세 점 $\displaystyle A , B , C$ 에 대하여, 아래의 세 명제는 서로 필요충분조건이다.(1) 점 $\displaystyle A , B , C$ 는 한 직선 위에 있다.(2) 벡터 $\displaystyle {\overrightarrow{AB}}$ 와 $\displaystyle {\overrightarrow{AC}}$ 는 평행하다.(3) $\displaystyle {\overrightarrow{AC}} = k {\overrightarrow{AB}}$ 가 성립하는 $\displaystyle 0$ 이 아닌 실수 $\displaystyle k$ 가 존재한다.

[나] 두 점 $\displaystyle A , B$ 의 위치벡터를 각각 $\displaystyle {\overrightarrow{a}} , {\overrightarrow{b}}$ 라고 할 때, 선분 $\displaystyle {\overline{AB}}$ 를 $\displaystyle m : n$ $\displaystyle ( m > 0 , n > 0 )$ 으로 내분하는 점 $\displaystyle P$ 의 위치벡터는 $\displaystyle {\overrightarrow{p}} = \frac{{m {\overrightarrow{b}} + n {\overrightarrow{a}}}}{m + n}$ 이다.

3-1. 두 점 $\displaystyle A , B$ 에 대하여 $\displaystyle {\overrightarrow{OP}} = t {\overrightarrow{OA}} + ( 1 - t ) {\overrightarrow{OB}} ( 0 \leq t \leq 1 )$ 가 성립하는 점 $\displaystyle P$ 의 자취는 선분 $\displaystyle {\overline{AB}}$ 임을 증명하시오. 단, $\displaystyle O$ 는 원점이다. (10점)

3-2. 좌표공간의 점 $\displaystyle A ( 3 , 3 , 3 )$ 과 중심이 원점 $\displaystyle O$ 인 구면 $\displaystyle x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ 위를 움직이는 점 $\displaystyle P$ 에 대하여 $\displaystyle L = \left| \frac{{2}}{3} {\overrightarrow{OA}} + \frac{{1}}{3} {\overrightarrow{OP}} \right|$ 이라고 하자. $\displaystyle L$ 의 값이 최대인 경우에, 두 벡터 $\displaystyle {\overrightarrow{OA}}$ 와 $\displaystyle {\overrightarrow{OP}}$ 가 이루는 각의 크기를 구하고, 그 때에 $\displaystyle L$ 의 값을 구하시오. (10점)

3-3. 그림과 같이 사각형 $\displaystyle ABCD$ 에서 선분 $\displaystyle AD$ 의 중점을 $\displaystyle P$ , 선분 $\displaystyle BC$ 의 중점을 $\displaystyle Q$ 라 하자. 대각선 $\displaystyle AC ,BD$ 및 선분 $\displaystyle PQ$ 가 한 점에서 만날 때, 두 벡터 $\displaystyle {\overrightarrow{BC}}$ 와 $\displaystyle {\overrightarrow{AD}}$ 가 평행함을 보이시오. (힌트 : 두 실수 $\displaystyle m , n$ 에 대하여 $\displaystyle {\overrightarrow{BC}} = m {\overrightarrow{AB}} + n {\overrightarrow{AD}}$ 일 때 $\displaystyle m = 0$ 임을 보이면 된다.) (10점)

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[3-1]

$\displaystyle 0<t<1$ 일 때, 선분 $\displaystyle AB$ 를 $\displaystyle (1-t):t$ 로 내분하는 점을 $\displaystyle Q$ 라 하자.제시문 (나)에 의해

$\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{OQ}&=\frac{(1-t)\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{OA}}{(1-t)+t}\\&=t\overrightarrow{OA}+(1-t)\overrightarrow{OB}\\&=\overrightarrow{OP}\end{aligned}$

이므로 $\displaystyle P=Q$ 이다.따라서 $\displaystyle 0<t<1$ 일 때 $\displaystyle P$ 는 선분 $\displaystyle AB$ 의 내부에 있다.

또한 $\displaystyle t=0$ 이면 $\displaystyle P=B$ , $\displaystyle t=1$ 이면 $\displaystyle P=A$ 이므로,주어진 식을 만족하는 모든 점 $\displaystyle P$ 는 선분 $\displaystyle AB$ 위에 있다.

반대로, 선분 $\displaystyle AB$ 내부의 임의의 점 $\displaystyle Q$ 에 대하여 $\displaystyle AQ:QB=m:n$ $\displaystyle (m>0,\ n>0)$ 이라 하고 $\displaystyle t=\frac{n}{m+n}$ 으로 놓으면 $\displaystyle 0<t<1$ 이다.제시문 (나)에 의해

$\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{OQ}&=\frac{m\overrightarrow{OB}+n\overrightarrow{OA}}{m+n}\\&=t\overrightarrow{OA}+(1-t)\overrightarrow{OB}\end{aligned}$

이므로 $\displaystyle Q$ 도 주어진 식을 만족한다.두 끝점 $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ 역시 각각 $\displaystyle t=1$ , $\displaystyle t=0$ 에서 얻어진다.

따라서 점 $\displaystyle P$ 의 자취는 선분 $\displaystyle AB$ 이다.

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의학계 3번

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