수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 3번

부산대 2016학년도 모의 2차 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/pusan/2016mo_2/jayeon_3

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【문항 3】다음 제시문을 근거로 하여 논제에 답하시오. (40점)

[가] 두 함수 f:X→Y\displaystyle f : X \to Y 와 g:Y→Z\displaystyle g : Y \to Z 가 주어졌을 때, 집합 X\displaystyle X의 임의의 원소 x\displaystyle x에 집합 Z\displaystyle Z의 원소 g(f(x))\displaystyle g ( f ( x ) )를 대응시켜서 X\displaystyle X를 정의역, Z\displaystyle Z를 공역으로 하는 새로운 함수를 정의할 수 있다. 이 함수를 f\displaystyle f와 g\displaystyle g의 합성함수라고 하고, 기호로는 g∘f\displaystyle g \circ f 로 나타낸다.

[나] 자연수 n\displaystyle n에 대한 명제 p(n)\displaystyle p ( n )이 모든 자연수에 대해 성립함을 보이려면 다음 두 가지가 성립함을 보이면 된다.(1) n=1\displaystyle n = 1일 때, 명제 p(n)\displaystyle p ( n )이 성립한다.(2) n=k\displaystyle n = k일 때, 명제 p(n)\displaystyle p ( n )이 성립한다고 가정하면 n=k+1\displaystyle n = k + 1일 때에도 명제 p(n)\displaystyle p ( n )이 성립한다. 이 방법으로 모든 자연수에 대하여 명제가 참임을 보이는 것을 수학적 귀납법이라고 한다.

함수 f(x)={2x(0≤x≤12)2(1−x)(12<x≤1)\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases}2 x & ( 0 \leq x \leq \frac{{1}}{2} ) \\ 2 ( 1 - x ) & ( \frac{{1}}{2} < x \leq 1 )\end{cases}} 로 부터, 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여g1=f,g2=12(f∘f),g3=13(f∘f∘f),⋯ ,gn=1n(f∘⋯∘f⏟n번),⋯\displaystyle g_{1} = f , g_{2} = \frac{{1}}{2} ( f \circ f ) , g_{3} = \frac{{1}}{3} ( f \circ f \circ f ) , \cdots , g_{n} = \frac{{1}}{n} ( \underbrace{f\circ\cdots\circ f}_{n\text{번}} ) , \cdots으로 정의하였다고 하자.

3-1. 임의의 자연수 n\displaystyle n에 대하여, 구간 (0,1)\displaystyle ( 0 , 1 )에서 gn(x)=0\displaystyle g_{n} ( x ) = 0이 성립하는 모든 x\displaystyle x들의 합을 an\displaystyle a_{n}이라고 할 때, ∑n=1∞an3n\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} {\frac{{a_{n}}}{3^{n}}} 을 구하시오. (20점)

3-2. 모든 k\displaystyle k에 대하여, 함수 gk(x)\displaystyle g_{k} ( x )의 그래프와 x\displaystyle x축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 bn\displaystyle b_{n}이라고하자. 임의의 n\displaystyle n에 대하여 ∑k=1n2bk\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} 2 b_{k} 을 기약분수로 나타내었을 때 ∑k=1n2bk=pnqn\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} 2 b_{k} = \frac{{p_{n}}}{q_{n}}이라고 하면,n!\displaystyle n !은 qn\displaystyle q_{n}으로 나누어떨어짐을 수학적 귀납법으로 보이시오.(단, n!=n⋅(n−1)⋅⋯⋅2⋅1\displaystyle n ! = n \cdot ( n - 1 ) \cdot \cdots \cdot 2 \cdot 1 이다.) (20점)

해설강의 준비중

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+10점 · 해집합

3-1. (20점) 정의에 따라 함수 gn\displaystyle g_{n}을 귀납적으로 구하면 다음과 같다.

합성함수 g1, g2, g3의 삼각형 모양 그래프

함수 gn\displaystyle g_{n}에 대하여 구간 0<x<1\displaystyle 0 < x < 1에서 gn(x)=0\displaystyle g_{n} ( x ) = 0을 만족하는 해집합을 귀납적으로 구하면{12n−1,22n−1,32n−1,⋯ ,2n−1−12n−1}\displaystyle \left\{ \frac{{1}}{2^{n - 1}} , \frac{{2}}{2^{n - 1}} , \frac{{3}}{2^{n - 1}} , \cdots , \frac{{2^{n - 1} - 1}}{2^{n - 1}} \right\}이므로

+5점 · 해집합의 총합

해집합의 총합 an\displaystyle a_{n}을 구하면 an=1+2+3+⋯+(2n−1−1)2n−1=2n−1−12\displaystyle a_{n} = \frac{{1 + 2 + 3 + \cdots + ( 2^{n - 1} - 1 )}}{2^{n - 1}} = \frac{{2^{n - 1} - 1}}{2} 이다.

+5점 · 무한급수의 합

따라서, ∑n=1∞an3n=12∑n=1∞2n−1−13n=12∑n=1∞(2n−13n−13n)=14\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{a_{n}}}{3^{n}} = \frac{{1}}{2} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{2^{n - 1} - 1}}{3^{n}} = \frac{{1}}{2} \sum_{n = 1}^{\infty} \left( \frac{{2^{n - 1}}}{3^{n}} - \frac{{1}}{3^{n}} \right) = \frac{{1}}{4} 이다.

+5점 · 부분합

3-2. (20점) bn=12n\displaystyle b_{n} = \frac{{1}}{2 n}이므로 ∑k=1n2bk=1+12+⋯+1n=pnqn\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} 2 b_{k} = 1 + \frac{{1}}{2} + \cdots + \frac{{1}}{n} = \frac{{p_{n}}}{q_{n}} 이다.

+3점 · 귀납 가정

n=1\displaystyle n = 1일 때, pn=1,qn=1\displaystyle p_{n} = 1 , q_{n} = 1 이므로 1∣1!\displaystyle 1 | 1 ! 이므로 성립한다.n=k\displaystyle n = k일 때, 즉, 1+12+13+...+1k=pkqk\displaystyle 1 + \frac{{1}}{2} + \frac{{1}}{3} + . . . + \frac{{1}}{k} = \frac{{p_{k}}}{q_{k}} , (pk,qk)=1\displaystyle ( p_{k} , q_{k} ) = 1 이면 qk∣k!\displaystyle q_{k} | k !이 성립한다고 가정하자.

+3점 · 양변에 더하기

양변에 1k+1\displaystyle \frac{{1}}{k + 1}을 더하면 1+12+13+...+1k+1k+1=pkqk+1k+1=pk(k+1)+qkqk(k+1)\displaystyle 1 + \frac{{1}}{2} + \frac{{1}}{3} + . . . + \frac{{1}}{k} + \frac{{1}}{k + 1} = \frac{{p_{k}}}{q_{k}} + \frac{{1}}{k + 1} = \frac{{p_{k} ( k + 1 ) + q_{k}}}{q_{k} ( k + 1 )}

+3점 · (ⅰ)

(ⅰ) (pk(k+1)+qk,qk(k+1))=1\displaystyle ( p_{k} ( k + 1 ) + q_{k} , q_{k} ( k + 1 ) ) = 1이면, qk(k+1)∣(k+1)!\displaystyle q_{k} ( k + 1 ) | ( k + 1 ) ! 이므로 n=k+1\displaystyle n = k + 1일 때도 성립한다.

+4점 · (ⅱ)

(ⅱ) (pk(k+1)+qk,qk(k+1))≠1\displaystyle ( p_{k} ( k + 1 ) + q_{k} , q_{k} ( k + 1 ) ) \ne 1 이면, 서로소인 ak\displaystyle a_{k}와 bk\displaystyle b_{k}가 존재하여akbk=pk(k+1)+qkqk(k+1)\displaystyle \frac{{a_{k}}}{b_{k}} = \frac{{p_{k} ( k + 1 ) + q_{k}}}{q_{k} ( k + 1 )}, bk∣qk(k+1)\displaystyle b_{k} | q_{k} ( k + 1 ) 이다.따라서 bk∣qk(k+1)\displaystyle b_{k} | q_{k} ( k + 1 ) 이고 qk(k+1)∣(k+1)!\displaystyle q_{k} ( k + 1 ) | ( k + 1 ) ! 이므로 bk∣(k+1)!\displaystyle b_{k} | ( k + 1 ) !

+2점 · 수학적 귀납법

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 n=k+1\displaystyle n = k + 1 일 때도 성립하므로 수학적 귀납법에 의해 qn\displaystyle q_{n}은 n!\displaystyle n !의 약수이다.

(모범답안과 다른 방법으로 논술한 합당한 답안도 모두 인정한다)

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