자연계열 1번

1-1.(i) $\displaystyle t = 0,1$ 일 때, $\displaystyle f ( p ) \le f ( p )$, $\displaystyle f ( q ) \le f ( q )$이므로 성립한다.(ii) $\displaystyle 0 < t < 1$ 일 때, 편의상 임의의 두 점 $\displaystyle p , q$ 가 $\displaystyle p < q$ 라고 하자.제시문(나) (좌표평면에서의 내분점의 관계)에 의하여 좌표평면 위의 두 점 $\displaystyle ( p , f ( p ) )$, $\displaystyle ( q , f ( q ) )$를 잇는 선분을 $\displaystyle t : 1 - t$ 로 내분하는 점의 좌표는 $\displaystyle ( ( 1 - t ) p + t q , ( 1 - t ) f ( p ) + t f ( q ) )$ 이다.따라서 제시문(가) (또는 아래로 볼록하다는 정의 또는 개념)에 의하여$\displaystyle f ( ( 1 - t ) p + t q ) \le ( 1 - t ) f ( p ) + t f ( q )$가 성립한다.

1-2.$\displaystyle p , q$가 임의의 두 점이므로 $\displaystyle p < q$라고 가정하자. 그리고 $\displaystyle g ( x ) = \frac{{f ( x ) - f ( p )}}{x - p}$ 라 하자.먼저 $\displaystyle x \ne p$인 임의의 $\displaystyle x \in ( a , q )$에 대하여$\displaystyle g ( x ) = \frac{{f ( x ) - f ( p )}}{x - p} \le \frac{{f ( q ) - f ( p )}}{q - p}$ (식1)임을 보이자.(i) $\displaystyle p < x < q$ 일 때, $\displaystyle g ( x ) \le \frac{{f ( q ) - f ( p )}}{q - p}$ 가 성립함을 보이자.$\displaystyle t = \frac{{x - p}}{q - p}$ 라 하면 $\displaystyle 0 < t = \frac{{x - p}}{q - p} < 1$, $\displaystyle 0 < 1 - \frac{{x - p}}{q - p} < 1$이고 문제1.1의 부등식에 의하여$\displaystyle f ( x ) \leq \left( 1 - \frac{{x - p}}{q - p} \right) f ( p ) + \left( \frac{{x - p}}{q - p} \right) f ( q ) = f ( p ) + ( x - p ) \frac{{f ( q ) - f ( p )}}{q - p}$이다. 따라서 $\displaystyle x - p > 0$ 이므로 $\displaystyle g ( x ) \le \frac{{f ( q ) - f ( p )}}{q - p}$ 이다.