부산대 2016학년도 수시 자연계열 1번 해설

※ 각 【문항】의 제시문을 이용하여 문제에 답하시오.※ 모든 서술과정의 각 단계에서 근거와 이유를 명확히 밝히시오.

【문항 1】

[제시문]

(가) 열린 구간 $\displaystyle ( a , b )$ 에서 정의된 함수 $\displaystyle f ( x )$ 의 그래프 위에 있는 임의의 두 점 $\displaystyle \mathrm{P} , \mathrm{Q}$ 에 대하여 $\displaystyle \mathrm{P} , \mathrm{Q}$ 사이에 있는 그래프 부분이 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$ 보다 아래쪽에 있으면 함수 $\displaystyle f ( x )$ 의 그래프는 구간 $\displaystyle ( a , b )$ 에서 아래로 볼록하다고 한다.

(나) 좌표평면 위의 두 점 $\displaystyle \mathrm{P} ( x_{1} , y_{1} )$ , $\displaystyle \mathrm{Q} ( x_{2} , y_{2} )$ 를 잇는 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$ 를 $\displaystyle m : n ( m > 0 , n > 0 )$ 으로 내분하는 점의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{{m x_{2} + n x_{1}}}{m + n} , \frac{{m y_{2} + n y_{1}}}{m + n} \right)$ 이다.

(다) 두 함수 $\displaystyle f ( x ) , g ( x )$ 에 대하여 $\displaystyle \lim_{x \to a} {f ( x )} = \alpha$ , $\displaystyle \lim_{x \to a} {g ( x )} = \beta$ ( $\displaystyle \alpha , \beta$ 는 실수)이고, $\displaystyle a$ 를 포함하는 열린구간 내의 모든 $\displaystyle x$ 에서 $\displaystyle f ( x ) \le g ( x )$ 이면 $\displaystyle \alpha \le \beta$ 이다.

[문제] 열린 구간 $\displaystyle ( a , b )$ 에서 정의된 함수 $\displaystyle f ( x )$ 의 그래프가 아래로 볼록하다고 할 때, 다음 물음에 답하시오.

1-1. 구간 $\displaystyle ( a , b )$ 에 속하는 임의의 $\displaystyle p , q$ 와 $\displaystyle 0 \leq t \leq 1$ 인 임의의 $\displaystyle t$ 에 대하여 부등식 $\displaystyle f ( ( 1 - t ) p + t q ) \leq ( 1 - t ) f ( p ) + t f ( q )$ 가 성립함을 보이시오. (10점)

1-2. 함수 $\displaystyle f ( x )$ 가 구간 $\displaystyle ( a , b )$ 에서 미분가능하다고 할 때, 이 구간에 속하는 임의의 $\displaystyle p , q$ 에 대하여 부등식 $\displaystyle f ( q ) \geq f ( p ) + f^{\prime} ( p ) ( q - p )$ 가 성립함을 보이시오. (20점)

부산대 2016학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/pusan/2016su/jayeon_1

+10점 · 1-1

1-1.(i) $\displaystyle t = 0,1$ 일 때, $\displaystyle f ( p ) \le f ( p )$ , $\displaystyle f ( q ) \le f ( q )$ 이므로 성립한다.(ii) $\displaystyle 0 < t < 1$ 일 때, 편의상 임의의 두 점 $\displaystyle p , q$ 가 $\displaystyle p < q$ 라고 하자.제시문(나) (좌표평면에서의 내분점의 관계)에 의하여 좌표평면 위의 두 점 $\displaystyle ( p , f ( p ) )$ , $\displaystyle ( q , f ( q ) )$ 를 잇는 선분을 $\displaystyle t : 1 - t$ 로 내분하는 점의 좌표는 $\displaystyle ( ( 1 - t ) p + t q , ( 1 - t ) f ( p ) + t f ( q ) )$ 이다.따라서 제시문(가) (또는 아래로 볼록하다는 정의 또는 개념)에 의하여 $\displaystyle f ( ( 1 - t ) p + t q ) \le ( 1 - t ) f ( p ) + t f ( q )$ 가 성립한다.

+20점 · 1-2

1-2. $\displaystyle p , q$ 가 임의의 두 점이므로 $\displaystyle p < q$ 라고 가정하자. 그리고 $\displaystyle g ( x ) = \frac{{f ( x ) - f ( p )}}{x - p}$ 라 하자.먼저 $\displaystyle x \ne p$ 인 임의의 $\displaystyle x \in ( a , q )$ 에 대하여 $\displaystyle g ( x ) = \frac{{f ( x ) - f ( p )}}{x - p} \le \frac{{f ( q ) - f ( p )}}{q - p}$ (식1)임을 보이자.(i) $\displaystyle p < x < q$ 일 때, $\displaystyle g ( x ) \le \frac{{f ( q ) - f ( p )}}{q - p}$ 가 성립함을 보이자. $\displaystyle t = \frac{{x - p}}{q - p}$ 라 하면 $\displaystyle 0 < t = \frac{{x - p}}{q - p} < 1$ , $\displaystyle 0 < 1 - \frac{{x - p}}{q - p} < 1$ 이고 문제1.1의 부등식에 의하여 $\displaystyle f ( x ) \leq \left( 1 - \frac{{x - p}}{q - p} \right) f ( p ) + \left( \frac{{x - p}}{q - p} \right) f ( q ) = f ( p ) + ( x - p ) \frac{{f ( q ) - f ( p )}}{q - p}$ 이다. 따라서 $\displaystyle x - p > 0$ 이므로 $\displaystyle g ( x ) \le \frac{{f ( q ) - f ( p )}}{q - p}$ 이다.

(ii) $\displaystyle a < x < p$ 일 때, $\displaystyle g ( x ) \le \frac{{f ( q ) - f ( p )}}{q - p}$ 또한 성립함을 보이자. $\displaystyle x < p < q$ 에 대하여 $\displaystyle t = \frac{{p - x}}{q - x}$ 라 하면 $\displaystyle 0 < t < 1$ 이고 (i)과 같은 계산과정을 반복하면, $\displaystyle \frac{{f ( p ) - f ( x )}}{p - x} \le \frac{{f ( q ) - f ( p )}}{q - p}$ 이 성립되어 $\displaystyle g ( x ) \le \frac{{f ( q ) - f ( p )}}{q - p}$ 이다.(i) (ii)에 의해 (식1)이 성립한다.함수 $\displaystyle f ( x )$ 가 열린구간 $\displaystyle ( a , b )$ 에서 미분가능함으로 제시문(다)와 (식1)에 의하여 극한값 $\displaystyle \lim_{x \to p} {g ( x )} = f^{\prime} ( p ) \le \frac{{f ( q ) - f ( p )}}{q - p}$ 이다.그러므로 $\displaystyle f ( q ) \ge f ( p ) + f^{\prime} ( p ) ( q - p )$ 가 성립한다.Comment. 대학 예시답안은 $\displaystyle p<q$ 인 경우만 증명하였다. $\displaystyle q<p$ 인 경우에도 같은 방법으로 $\displaystyle f(q)\ge f(p)+f^{\prime}(p)(q-p)$ 를 보일 수 있으며, $\displaystyle p=q$ 일 때에는 등호가 성립한다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.

자연계열 1번

문제

첨삭 사례

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개