자연계열 3번

3-1.원점이 중심이고 반지름이 1인 구를 $\displaystyle S$라 하자.구 위의 임의의 점을 $\displaystyle \mathrm{P} ( x , y , z )$라 놓고, 제시문 (나)에 의해 두 점 $\displaystyle \mathrm{N}$, $\displaystyle \mathrm{P}$사이의 사이각이 $\displaystyle \frac{{\pi}}{4}$이므로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ON}}$과 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}$ 내적하면 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}} \bullet \overrightarrow{\mathrm{ON}} = | \overrightarrow{\mathrm{OP}} | | \overrightarrow{\mathrm{ON}} | \cos \left( \frac{{\pi}}{4} \right)$ 이고, $\displaystyle | \overrightarrow{\mathrm{OP}} | = | \overrightarrow{\mathrm{ON}} | = 1$이므로, $\displaystyle z = \frac{{1}}{\sqrt{2}}$이다.점 $\displaystyle \mathrm{P}_{0}$는 구 $\displaystyle S$를 평면 $\displaystyle z = \frac{{1}}{\sqrt{2}}$으로 절단하여 평면 $\displaystyle z = \frac{{1}}{\sqrt{2}}$ 위에 놓인 원 $\displaystyle x^{2} + y^{2} = \frac{{1}}{2}$에서 $\displaystyle x$좌표가 큰 점이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{P}_{0}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{{1}}{\sqrt{2}} , 0 , \frac{{1}}{\sqrt{2}} \right)$이다.위와 같은 방법으로 점 $\displaystyle \mathrm{Q}_{0}$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac{{1}}{\sqrt{2}}$이다.점 $\displaystyle \mathrm{Q}_{0}$는 평면 $\displaystyle x = \frac{{1}}{\sqrt{2}}$ 위의 놓인 원 $\displaystyle y^{2} + z^{2} = \frac{{1}}{2}$에서 $\displaystyle y$좌표가 가장 큰 점이므로$\displaystyle \mathrm{Q}_{0} = \left( \frac{{1}}{\sqrt{2}} , \frac{{1}}{\sqrt{2}} , 0 \right)$이다.

3-2.점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 $\displaystyle \mathrm{P}_{0} \left( \frac{{1}}{\sqrt{2}} , 0 , \frac{{1}}{\sqrt{2}} \right)$에서 $\displaystyle z$축을 회전축으로 하여 $\displaystyle y$좌표가 증가하는 방향으로 일정한 각속도 $\displaystyle \omega$(양수인 상수)로 한 바퀴 회전하므로 시각 $\displaystyle t$에서의 위치는$\displaystyle \mathrm{P} ( {t} ) = \left( \frac{{1}}{\sqrt{2}} \cos ( \omega {t} ) , \frac{{1}}{\sqrt{2}} \sin ( \omega {t} ) , \frac{{1}}{\sqrt{2}} \right)$이다. (단, $\displaystyle \mathrm{P} ( 0 ) = \mathrm{P}_{0}$)점 $\displaystyle \mathrm{Q}$는 $\displaystyle \mathrm{Q}_{0} \left( \frac{{1}}{\sqrt{2}} , \frac{{1}}{\sqrt{2}} , 0 \right)$에서 $\displaystyle x$축을 회전축으로 하여 $\displaystyle z$좌표가 증가하는 방향으로 각속도 $\displaystyle \omega$로 한 바퀴 회전하므로 시각 $\displaystyle t$에서의 위치는$\displaystyle \mathrm{Q} ( {t} ) = \left( \frac{{1}}{\sqrt{2}} , \frac{{1}}{\sqrt{2}} \cos ( \omega {t} ) , \frac{{1}}{\sqrt{2}} \sin ( \omega {t} ) \right)$이다. (단, $\displaystyle \mathrm{Q} ( 0 ) = \mathrm{Q}_{0}$)움직이고 있는 두 점 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( t )$, $\displaystyle {\mathrm{Q}} ( t )$의 사이각을 $\displaystyle 0 \leq \theta ( t ) \leq \pi$라 하자.$\displaystyle \cos x$는 구간 $\displaystyle 0 \leq x \leq \pi$에서 감소함수이므로 사이각 $\displaystyle \theta ( t )$의 크기의 최솟값 $\displaystyle \alpha$에 대한 $\displaystyle \cos \alpha$을 구하기 위해 $\displaystyle \cos ( \theta ( t ) )$의 최댓값을 구하면 된다.$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP} ( t )} \bullet \overrightarrow{\mathrm{OQ} ( t )} = | \overrightarrow{\mathrm{OP} ( t )} | | \overrightarrow{\mathrm{OQ} ( t )} | \cos ( \theta ( \mathrm{t} ) ) = \cos ( \theta ( \mathrm{t} ) )$이고, $\displaystyle | \overrightarrow{\mathrm{OP} ( {t} )} | = | \overrightarrow{\mathrm{OQ} ( {t} )} | = 1$ 이므로$\displaystyle \cos ( \theta ( t ) ) = \overrightarrow{\mathrm{OP} ( t )} \bullet \overrightarrow{\mathrm{OQ} ( t )} = \frac{{1}}{2} ( \cos ( \omega t ) + \sin ( \omega t ) \cos ( \omega t ) + \sin ( \omega t ) )$의 최댓값을 구하자.$\displaystyle \cos ( \omega t ) + \sin ( \omega t ) = s$라 놓으면, $\displaystyle - \sqrt{2} \leq s \leq \sqrt{2}$이고 $\displaystyle \cos ( \omega t ) \sin ( \omega t ) = \frac{{s^{2} - 1}}{2}$이다.구간 $\displaystyle - \sqrt{2} \leq s \leq \sqrt{2}$에서 $\displaystyle \frac{{1}}{2} \left( s + \frac{{s^{2} - 1}}{2} \right)$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{{1 + 2 \sqrt{2}}}{4}$이므로구하는 $\displaystyle \cos \alpha = \frac{{1 + 2 \sqrt{2}}}{4}$이다.