자연계열 2번

2-1.$\displaystyle A_1=1$이고, [$\displaystyle n$단계]의 세포 $\displaystyle \textcircled{a}$가 [규칙 1]에 의하여[$\displaystyle n+1$단계]에서 그 개수가 3배로 분열되므로 $\displaystyle A_n=3^{n-1}$이다.또, $\displaystyle B_{n+1}$을 구하기 위해[$\displaystyle n+1$단계]에서의① 세포 $\displaystyle \boxed{b}$는[$\displaystyle n$단계]에서의 $\displaystyle \textcircled{a}$가 성장하여 새롭게 나타나는 $\displaystyle \boxed{b}$와 ………… $\displaystyle \textcircled{\scriptsize i}$$\displaystyle \boxed{c}$가 성장하여 새롭게 나타나는 $\displaystyle \boxed{b}$ …………… $\displaystyle \textcircled{\scriptsize ii}$② 세포 $\displaystyle \boxed{c}$는[$\displaystyle n$단계]에서의 $\displaystyle \boxed{b}$가 바뀌어 나타나는 $\displaystyle \boxed{c}$ ………………………… $\displaystyle \textcircled{\scriptsize iii}$③ 세포 $\displaystyle \colorbox{#777777}{\color{white}d}$는[$\displaystyle n$단계]에서의 $\displaystyle \boxed{c}$가 성장하여 새롭게 나타나는 $\displaystyle \colorbox{#777777}{\color{white}d}$와 ………… $\displaystyle \textcircled{\scriptsize iv}$$\displaystyle \colorbox{#777777}{\color{white}d}$가 바뀌지 않고 그대로 있는 $\displaystyle \colorbox{#777777}{\color{white}d}$ ……………… $\displaystyle \textcircled{\scriptsize v}$이므로 $\displaystyle B_{n+1}=\textcircled{\scriptsize i}+\textcircled{\scriptsize ii}+\textcircled{\scriptsize iii}+\textcircled{\scriptsize iv}+\textcircled{\scriptsize v}$이다.$\displaystyle \textcircled{\scriptsize i}=2A_n$, $\displaystyle \textcircled{\scriptsize iii}+\textcircled{\scriptsize iv}+\textcircled{\scriptsize v}=B_n$이고, $\displaystyle \textcircled{\scriptsize ii}=$[$\displaystyle n-1$단계]에서의 $\displaystyle \boxed{b}$의 개수$\displaystyle =B_{n-1}-B_{n-2}$이므로$\displaystyle B_{n + 1} = B_{n} + 2 A_{n} + B_{n - 1} - B_{n - 2}( n \geq 3 )$ ………… (*)임을 알 수 있다.따라서 $\displaystyle B_{1} = 0 , B_{2} = 2 , B_{3} = 8$을 식 (*)에 차례로 적용하여 구하면$\displaystyle B_{6} = 270$이다.

2-2.$\displaystyle 2 A_{n} = B_{n + 1} - B_{n} - B_{n - 1} + B_{n - 2}( n \geq 3 )$에서 $\displaystyle n$이 짝수일 때의 관계식을 구하기 위해[방법 1]$\displaystyle n = 2 k - 1$($\displaystyle k$는 자연수)일 때$\displaystyle 2 A_{2 k - 1} = B_{2 k} - B_{2 k - 1} - B_{2 k - 2} + B_{2 k - 3}$이고 $\displaystyle 2 A_{1} = B_{2} - B_{1}$이므로$\displaystyle k$에 차례로 $\displaystyle 2 , 3 , 4 , \cdots , k$를 대입하면$\displaystyle {\begin{cases}2 A_{2 k - 1} & = B_{2 k} - B_{2 k - 1} - B_{2 k - 2} + B_{2 k - 3} \\ 2 A_{2 k - 3} & = B_{2 k - 2} - B_{2 k - 3} - B_{2 k - 4} + B_{2 k - 5} \\ & \vdots \\ 2 A_{3} & = B_{4} - B_{3} - B_{2} + B_{1}\end{cases}}$⇒ $\displaystyle B_{2 k} = B_{2 k - 1} + 2 A_{2 k - 1} + 2 A_{2 k - 3} + \cdots + 2 A_{1}$ ……… $\displaystyle (\ast\ast)$이다.$\displaystyle A_{n} = 3^{n - 1}$이므로 식$\displaystyle (\ast\ast)$에 대입하여 정리하면$\displaystyle \begin{aligned}B_{2 k} & = B_{2 k - 1} + 2 ( 3^{2 k - 2} + 3^{2 k - 4} + \cdots + 3^{2} + 1 ) \\ & = B_{2 k - 1} + \frac{{1}}{4} ( 3^{2 k} - 1 )\end{aligned}$이고, 같은 방법으로 $\displaystyle n = 2 k$($\displaystyle k$는 자연수)일 때는$\displaystyle B_{2 k + 1} = B_{2 k} + \frac{{3}}{4} ( 3^{2 k} - 1 )$이다.[방법1] 또는 [방법2]에 의하여그러므로$\displaystyle \begin{aligned}B_{2 k + 2} & = B_{2 k + 1} + \frac{{1}}{4} ( 3^{2 k + 2} - 1 ) \\ \\ & = \left( B_{2 k} + \frac{{3}}{4} ( 3^{2 k} - 1 ) \right) + \frac{{1}}{4} ( 3^{2 k + 2} - 1 ) \\ \\ & = B_{2 k} + 9 \cdot 3^{2 k - 1} - 1\end{aligned}$이다. 따라서 $\displaystyle B_{n + 2} = B_{n} + 9 A_{n} - 1$이다.∴$\displaystyle p = 1 , q = 9 , r = - 1$