부산대 2016학년도 수시 의학계 1번 해설

※ 각 【문항】의 제시문을 이용하여 문제에 답하시오.※ 모든 서술과정의 각 단계에서 근거와 이유를 명확히 밝히시오.

【문항 1】

[제시문]

(삼수선의 정리) 평면 $\displaystyle \alpha$ 위에 있지 않은 한 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 와 평면 $\displaystyle \alpha$ 위에 있는 직선 $\displaystyle \mathrm{l}$ , 직선 $\displaystyle \mathrm{l}$ 위에 있는 한 점 $\displaystyle \mathrm{H}$ , 평면 $\displaystyle \alpha$ 위에 있으면서 직선 $\displaystyle \mathrm{l}$ 위에 있지 않은 점 $\displaystyle \mathrm{O}$ 에 대하여 아래의 사실이 성립한다.

(1) $\displaystyle \overline{\mathrm{PO}} \perp \alpha$ , $\displaystyle {\overline{\mathrm{OH}}} \perp \mathrm{l}$ 이면 $\displaystyle \overline{\mathrm{PH}} \perp \mathrm{l}$ 이다.(2) $\displaystyle \overline{\mathrm{PO}} \perp \alpha$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{PH}} \perp \mathrm{l}$ 이면 $\displaystyle \overline{\mathrm{OH}} \perp \mathrm{l}$ 이다.(3) $\displaystyle \overline{\mathrm{PH}} \perp \mathrm{l}$ , $\displaystyle {\overline{\mathrm{OH}}} \perp \mathrm{l}$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{PO}} \perp \overline{\mathrm{OH}}$ 이면 $\displaystyle \overline{\mathrm{PO}} \perp \alpha$ 이다.

[문제] 아래 그림의 육면체 $\displaystyle \mathrm{PABCD}$ 가 (1)~(6)의 성질들을 가진다고 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 는 세 점 $\displaystyle \mathrm{A} , \mathrm{B} , \mathrm{C}$ 로부터 같은 거리에 있다.(2) $\displaystyle \overline{\mathrm{PD}}$ 는 평면 $\displaystyle \mathrm{ACD}$ 에 수직이다.(3) $\displaystyle \angle \mathrm{ABC}$ 는 직각이다.(4) 네 점 $\displaystyle \mathrm{A} , \mathrm{C} , \mathrm{E} , \mathrm{F}$ 는 한 평면 $\displaystyle \alpha$ 위에 놓여 있다.(5) 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 와 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ACD}$ 가 평면 $\displaystyle \alpha$ 와 이루는 각은 각각 $\displaystyle \frac{{\pi}}{6}$ 와 $\displaystyle \frac{{\pi}}{12}$ 이다.(6) $\displaystyle \overline{\mathrm{BE}}$ 와 $\displaystyle \overline{\mathrm{DF}}$ 는 모두 평면 $\displaystyle \alpha$ 에 수직이다.

1-1. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 넓이를 $\displaystyle S$ 라 할 때, 부등식 $\displaystyle S \leq \frac{{1}}{4} {\overline{\mathrm{AC}}}^{2}$ 가 성립함을 보이시오. (10점)

1-2. 점 $\displaystyle \mathrm{B}$ 에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}$ 에 이르는 거리를 $\displaystyle x$ , 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}$ 에 이르는 거리를 $\displaystyle y$ 라 하자. 사면체 $\displaystyle \mathrm{PABC}$ 와 사면체 $\displaystyle \mathrm{PACD}$ 의 부피가 같다고 할 때, $\displaystyle x , y$ 의 관계식을 구하시오. (25점)

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+10점 · 1-1

1-1. $\displaystyle \triangle \mathrm{ABC}$ 가 직각삼각형이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}$ 의 중점을 $\displaystyle \mathrm{M}$ , 점 $\displaystyle \mathrm{B}$ 에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}$ 에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{H}$ 라 하면 점 $\displaystyle \mathrm{M}$ 은 $\displaystyle \triangle \mathrm{ABC}$ 의 외심이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BH}} \leq \overline{\mathrm{BM}} = \overline{\mathrm{AM}}$ 이 된다.그러므로 $\displaystyle S = \frac{{1}}{2} \overline{\mathrm{AC}} \cdot \overline{\mathrm{BH}} \leq \frac{{1}}{2} \overline{\mathrm{AC}} \cdot \overline{\mathrm{BM}}$ 이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{BM}} = \frac{{1}}{2} \overline{\mathrm{AC}}$ 이므로 대입하면 $\displaystyle S \leq \frac{{1}}{2} \overline{\mathrm{AC}} \cdot \frac{{1}}{2} \overline{\mathrm{AC}}$ 가 되고 따라서 $\displaystyle S \leq \frac{{1}}{4} {\overline{\mathrm{AC}}}^{2}$ 이다.

+25점 · 1-2

1-2.

$\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}$ 의 중점을 $\displaystyle \mathrm{M}$ 이라 하면 사면체 $\displaystyle \mathrm{PABC}$ 에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PA}}} = {\overline{\mathrm{PB}}} = {\overline{\mathrm{PC}}}$ , $\displaystyle \triangle \mathrm{ABC}$ 가 직각삼각형이므로 [그림1]와 같이 생각할 수 있다. $\displaystyle \triangle \mathrm{PAM} , \triangle \mathrm{PBM} , \triangle \mathrm{PCM}$ 에서점 $\displaystyle \mathrm{M}$ 은 $\displaystyle \triangle \mathrm{ABC}$ 의 외심이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AM}} = \overline{\mathrm{BM}} = \overline{\mathrm{CM}}$ 이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{PM}}$ 은 공통이다.따라서 $\displaystyle \triangle \mathrm{PAM} \equiv \triangle \mathrm{PBM} \equiv \triangle \mathrm{PCM}$ 이 된다. 그러므로 $\displaystyle \angle \mathrm{PMB} = \frac{{\pi}}{2}$ 이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{PM}} \perp \overline{\mathrm{AM}}$ , $\displaystyle {\overline{\mathrm{PM}}} \perp {\overline{\mathrm{BM}}}$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PM}} \perp (\text{평면}\mathrm{ABC})$ 이다.그러므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PM}}$ 은 사면체 $\displaystyle \mathrm{PABC}$ 의 높이이다.주어진 육면체의 성질(5)에서 평면 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 와 평면 $\displaystyle \mathrm{ACD}$ 가 평면 $\displaystyle \alpha$ 와 이루는 이면각이 각각 $\displaystyle \frac{{\pi}}{6}$ 와 $\displaystyle \frac{{\pi}}{12}$ 이므로 평면 $\displaystyle \mathrm{PAC}$ 와 평면 $\displaystyle \mathrm{DAC}$ 가 이루는 이면각은 $\displaystyle \frac{{\pi}}{4}$ 이다.주어진 제시문의 삼수선정리 (2)를 활용하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{PM}} \perp \overline{\mathrm{AC}}$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{PD}} \perp (\text{평면}\mathrm{ACD})$ 이므로 $\displaystyle \angle \mathrm{CMD} = \frac{{\pi}}{2}$ 이다. $\displaystyle \angle \mathrm{PMD} = \frac{{\pi}}{4}$ 이므로 $\displaystyle \triangle \mathrm{PMD}$ 는 $\displaystyle \overline{\mathrm{PD}} = \overline{\mathrm{MD}}$ 인 직각이등변삼각형임을 알 수 있다.[그림2]에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PM}} = y$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PD}} = \overline{\mathrm{MD}} = \frac{{1}}{\sqrt{2}} y$ 이다.사면체 $\displaystyle \mathrm{PABC}$ 의 부피를 $\displaystyle \mathrm{V}_{1}$ , 사면체 $\displaystyle \mathrm{PACD}$ 의 부피를 $\displaystyle \mathrm{V}_{2}$ 라 두면 $\displaystyle \mathrm{V}_{1} = \frac{{1}}{3} \left( \frac{{1}}{2} \cdot \overline{\mathrm{AC}} \cdot x \right) y$ , $\displaystyle \mathrm{V}_{2} = \frac{{1}}{3} \left( \frac{{1}}{2} \cdot \overline{\mathrm{AC}} \cdot \frac{{1}}{\sqrt{2}} y \right) \frac{{1}}{\sqrt{2}} y$ 이고, $\displaystyle \mathrm{V}_{1} = \mathrm{V}_{2}$ 이므로구하는 $\displaystyle x , y$ 의 관계식은 $\displaystyle 2 x - y = 0$ 이다.

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