의학계 1번

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1-2.

$\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}$의 중점을 $\displaystyle \mathrm{M}$이라 하면 사면체 $\displaystyle \mathrm{PABC}$에서$\displaystyle {\overline{\mathrm{PA}}} = {\overline{\mathrm{PB}}} = {\overline{\mathrm{PC}}}$, $\displaystyle \triangle \mathrm{ABC}$가 직각삼각형이므로 [그림1]와 같이 생각할 수 있다.$\displaystyle \triangle \mathrm{PAM} , \triangle \mathrm{PBM} , \triangle \mathrm{PCM}$ 에서점 $\displaystyle \mathrm{M}$은 $\displaystyle \triangle \mathrm{ABC}$의 외심이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AM}} = \overline{\mathrm{BM}} = \overline{\mathrm{CM}}$이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{PM}}$은 공통이다.따라서 $\displaystyle \triangle \mathrm{PAM} \equiv \triangle \mathrm{PBM} \equiv \triangle \mathrm{PCM}$이 된다. 그러므로 $\displaystyle \angle \mathrm{PMB} = \frac{{\pi}}{2}$ 이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{PM}} \perp \overline{\mathrm{AM}}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{PM}}} \perp {\overline{\mathrm{BM}}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PM}} \perp (\text{평면}\mathrm{ABC})$ 이다.그러므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PM}}$은 사면체 $\displaystyle \mathrm{PABC}$의 높이이다.주어진 육면체의 성질(5)에서 평면 $\displaystyle \mathrm{ABC}$와 평면 $\displaystyle \mathrm{ACD}$가 평면 $\displaystyle \alpha$와 이루는 이면각이 각각 $\displaystyle \frac{{\pi}}{6}$와 $\displaystyle \frac{{\pi}}{12}$이므로 평면 $\displaystyle \mathrm{PAC}$와 평면 $\displaystyle \mathrm{DAC}$가 이루는 이면각은 $\displaystyle \frac{{\pi}}{4}$이다.주어진 제시문의 삼수선정리 (2)를 활용하면$\displaystyle \overline{\mathrm{PM}} \perp \overline{\mathrm{AC}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{PD}} \perp (\text{평면}\mathrm{ACD})$이므로 $\displaystyle \angle \mathrm{CMD} = \frac{{\pi}}{2}$이다.$\displaystyle \angle \mathrm{PMD} = \frac{{\pi}}{4}$이므로 $\displaystyle \triangle \mathrm{PMD}$는 $\displaystyle \overline{\mathrm{PD}} = \overline{\mathrm{MD}}$인 직각이등변삼각형임을 알 수 있다.[그림2]에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PM}} = y$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PD}} = \overline{\mathrm{MD}} = \frac{{1}}{\sqrt{2}} y$이다.사면체 $\displaystyle \mathrm{PABC}$의 부피를 $\displaystyle \mathrm{V}_{1}$, 사면체 $\displaystyle \mathrm{PACD}$의 부피를 $\displaystyle \mathrm{V}_{2}$라 두면$\displaystyle \mathrm{V}_{1} = \frac{{1}}{3} \left( \frac{{1}}{2} \cdot \overline{\mathrm{AC}} \cdot x \right) y$, $\displaystyle \mathrm{V}_{2} = \frac{{1}}{3} \left( \frac{{1}}{2} \cdot \overline{\mathrm{AC}} \cdot \frac{{1}}{\sqrt{2}} y \right) \frac{{1}}{\sqrt{2}} y$이고,$\displaystyle \mathrm{V}_{1} = \mathrm{V}_{2}$이므로구하는 $\displaystyle x , y$의 관계식은 $\displaystyle 2 x - y = 0$이다.