의학계 3번

3-1.$\displaystyle c_2$와 $\displaystyle c_3$를 구하기 위하여 $\displaystyle f_2(x),f_3(x)$을 구하여보자.제시문 (다)에서 $\displaystyle n=1,\alpha=0,\beta=1$을 대입하면$\displaystyle f_2(x)=\begin{cases}0&(x=0)\\\frac{x^2}{2}\left[-\frac12+\ln x\right]&(x>0)\end{cases}\qquad(\text{식}1)$가 된다. 그러므로 $\displaystyle c_2=-f_2(1)=-\frac{0-\frac12}{2}=\frac14$이다.

가 된다. 그러므로 $\displaystyle c_3=-f_3(1)=\frac14\frac13+\frac1{3^2}\frac1{2!}=\frac5{36}$이다.

3-2.자연수 $\displaystyle n$ ($\displaystyle n=1,2,3,\cdots$)에 대하여$\displaystyle f_n(x)=\begin{cases}0&(x=0)\\x^n(a_n+b_n\ln x),\quad a_1=0,\ b_1=1&(x>0)\end{cases}\qquad(\text{식}2)$라 하자. 제시문 (다)에 의해$\displaystyle f_{n+1}(x)=\begin{cases}0&(x=0)\\x^{n+1}\left(\frac{(n+1)a_n-b_n}{(n+1)^2}+\left(\frac{b_n}{n+1}\right)\ln x\right)&(x>0)\end{cases}\qquad(\text{식}3)$가 된다. (식2)의 $\displaystyle n+1$항은$\displaystyle f_{n+1}(x)=\begin{cases}0&(x=0)\\x^{n+1}(a_{n+1}+b_{n+1}\ln x)&(x>0)\end{cases}\qquad(\text{식}4)$이다. (식3)와 (식4)으로부터 $\displaystyle x^{n+1}$, $\displaystyle x^{n+1}\ln x$의 계수를 비교하여$\displaystyle b_{n+1}=\frac{b_n}{n+1},\quad b_1=1,$$\displaystyle a_{n+1}=\frac{(n+1)a_n-b_n}{(n+1)^2}=\frac{a_n}{n+1}-\frac{b_n}{(n+1)^2},\quad a_1=0$인 수열을 얻는다. 먼저 제시문 (나)에 설명한 귀납적 정의로 주어진 수열 $\displaystyle b_n$의 일반항을 구하면$\displaystyle b_n=\frac1{n!}$이 되고$\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n}{n+1}-\frac{b_n}{(n+1)^2}=\frac{a_n}{n+1}-\frac1{(n+1)^2\times n!},\quad a_1=0$이 된다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}c_{n+1}=-a_{n+1}&=\frac{-a_n}{n+1}+\frac1{(n+1)^2\times n!}\\&=\frac{c_n}{n+1}+\frac1{(n+1)^2\times n!},\qquad c_1=0\end{aligned}\qquad(\text{식}5)$이 된다. $\displaystyle \frac{(n!)c_n}{\ln n}$을 계산하기 위하여 우선 $\displaystyle (n!)c_n$을 편의상 $\displaystyle d_n=(n!)c_n$라 하자.

문항 3-1 로부터 얻은 (식5)의 $\displaystyle c_{n+1}=\frac{c_n}{n+1}+\frac1{(n+1)^2\times n!}$의 양변에 $\displaystyle (n+1)!$을 곱하면Correction. 식 (5)는 문항 3-2의 풀이에서 얻은 식이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle d_{n+1}=d_n+\frac1{n+1},\quad d_1=(n!)c_1=0$를 얻는다. 이는 제시문 (가)에 설명한 계차수열이 되고 이 계차수열의 일반항은$\displaystyle \begin{aligned}d_1&=0,\\d_{n+1}&=\frac1{n+1}+d_n=\frac1{n+1}+\frac1n+d_{n-1}\\&=\frac1{n+1}+\frac1n+\cdots+\frac1{1+1}+d_1\\&=\frac1{n+1}+\frac1n+\cdots+\frac12\\&=\sum_{m=1}^n\frac1{m+1}\qquad(n=1,2,3,\cdots)\end{aligned}$이다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\frac{(n!)c_n}{\ln n}&=\lim_{n\to\infty}\frac{d_n}{\ln n}=\lim_{n\to\infty}\frac{d_{n+1}}{\ln(n+1)}\\&=\lim_{n\to\infty}\frac1{\ln(n+1)}\left(\sum_{m=1}^n\frac1{m+1}\right)\end{aligned}$이다. 제시문 (라)에 의하여 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n+1)}{\sum_{m=1}^n\frac1{m+1}}=1$이므로