의학계 2번

2-1.$\displaystyle r<s<t$라 하자. 함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프가 위로 볼록하므로$\displaystyle f(s)\ge \frac{t-s}{t-r}f(r)+\frac{s-r}{t-r}f(t).$이를 정리하면$\displaystyle \frac{f(t)-f(s)}{t-s} \le \frac{f(t)-f(r)}{t-r} \le \frac{f(s)-f(r)}{s-r}.$왼쪽 부등식에서 $\displaystyle s\to t-0$, 오른쪽 부등식에서 $\displaystyle s\to r+0$으로 보내면, 제시문 (나)에 의하여$\displaystyle f^{\prime}(t)\le \frac{f(t)-f(r)}{t-r}\le f^{\prime}(r).$

2-2.$\displaystyle d_k=f(k+1)-f(k)$라 하자. 평균값의 정리와 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$에 의하여 모든 자연수 $\displaystyle k$에 대해 $\displaystyle d_k>0$이다.$\displaystyle k<x<k+1$일 때, 2-1을 두 구간 $\displaystyle [x,k+1]$, $\displaystyle [k+1,k+2]$에 적용하면$\displaystyle \frac{f(k+1)-f(x)}{k+1-x} \ge f^{\prime}(k+1) \ge f(k+2)-f(k+1)=d_{k+1}.$따라서$\displaystyle f(x)\le f(k+1)-d_{k+1}(k+1-x).$함수 $\displaystyle f(x)$가 연속이므로 이 부등식은 양 끝점에서도 성립한다.한편, 두 점 $\displaystyle (k,f(k))$, $\displaystyle (k+1,f(k+1))$을 지나는 직선의 식을 $\displaystyle y=L_k(x)$라 하면$\displaystyle L_k(x)=f(k+1)-d_k(k+1-x).$함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프가 위로 볼록하고 끝점에서 연속이므로, $\displaystyle [k,k+1]$에서$\displaystyle 0\le f(x)-L_k(x) \le (d_k-d_{k+1})(k+1-x).$양변을 적분하면$\displaystyle S_k=\int_k^{k+1}\bigl(f(x)-L_k(x)\bigr)\,dx \le \frac{d_k-d_{k+1}}2.$이를 $\displaystyle k=1$부터 $\displaystyle n$까지 더하면$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}S_k \le \frac12\sum_{k=1}^{n}(d_k-d_{k+1}) =\frac{d_1-d_{n+1}}2 <\frac{d_1}2.$마지막 부등식은 $\displaystyle d_{n+1}>0$이므로 성립한다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 넓이는$\displaystyle M=\frac12\bigl(f(2)-f(1)\bigr)=\frac{d_1}2$이므로$\displaystyle \boxed{\sum_{k=1}^{n}S_k<M}.$