자연계열 1번

[1-1]함수$\displaystyle f ( x )$의 이계도함수를 구하면$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime\prime}(x)&=f^{\prime}(x)(2-f(x))-f(x)f^{\prime}(x)\\&=2f^{\prime}(x)(1-f(x))=2f(x)(1-f(x))(2-f(x))\end{aligned}$임.또한 함수$\displaystyle f ( x )$가 $\displaystyle 0 < f ( x ) < 2$이면 $\displaystyle f^{\prime} ( x )$의 값이 양이므로 제시문[가]에 의하여 함수 $\displaystyle f ( x )$는 증가함.따라서 중간값 정리에 의하여 $\displaystyle f ( a ) = 1$인 점 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( a , 1 )$이 반드시 존재하고 또한 $\displaystyle f^{\prime \prime} ( a ) = 0$임.그리고 $\displaystyle x = a$의 좌우에서 $\displaystyle f^{\prime \prime} ( x )$의 부호가 양에서 음, 즉 아래로 볼록에서 위로 볼록으로 바뀜.그러므로 제시문[나] 에 의하여 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( a , 1 )$는 곡선$\displaystyle f ( x )$의 변곡점임.

[1-2]모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle 0 < f ( x ) < 2$이므로$\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)(2-f(x))} = 1$이고 양변에 $\displaystyle x$에 대하여 부정적분하면$\displaystyle \int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)(2-f(x))} d x = \int 1 d x$ …………①제시문[다] 에 의하여 $\displaystyle y = f ( x )$로 치환하면 $\displaystyle d y = f^{\prime} ( x ) d x$이고$\displaystyle \begin{aligned}\int\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)(2-f(x))}dx&=\int\frac1{y(2-y)}dy\\&=\frac12\int\frac1y+\frac1{2-y}dy\\&=\frac12(\ln y-\ln(2-y))\end{aligned}$① 에서$\displaystyle \frac{1}{2} ( \ln y - \ln ( 2 - y ) ) = x + c$ (상수 $\displaystyle c$)$\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \frac{1}{2} ( \ln y - \ln ( 2 - y ) ) = \ln \frac{y}{2 - y} = 2 x + 2 c$양변에 지수함수를 취하면$\displaystyle \frac{y}{2 - y} = e^{2 x} e^{2c}$ …………②이고 $\displaystyle x = 0$일 때 $\displaystyle f ( 0 ) = y = \frac{1}{3}$ 이므로 ②에서 $\displaystyle e^{2c} = \frac{1}{5}$ 임.$\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \frac{y}{2 - y} = \frac{1}{5} e^{2 x}$$\displaystyle \therefore\quad y=f(x)=\frac{2e^{2x}}{5+e^{2x}}=\frac2{1+5e^{-2x}}$