수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 3번

부산대 2017학년도 모의 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/pusan/2017mo/jayeon_3

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※ 모든 서술과정의 각 단계에서 근거와 이유를 명확히 밝히시오.

【문항 3】다음 제시문을 근거로 하여 아래 논제에 답하시오.

[제시문]

[가] 삼각형 ABC\displaystyle \mathrm{ABC}의 넓이를 S\displaystyle S라고 하면S=12AB‾AC‾sin⁡∠A\displaystyle S = \frac{{1}}{2} {\overline{\mathrm{AB}}} {\overline{\mathrm{AC}}} \sin \angle \mathrm{A}이다.

3-1. 아래의 [그림 1]과 같이 삼각형 XYZ\displaystyle \mathrm{XYZ}는 원점 O\displaystyle \mathrm{O}를 중심으로 하는 단위원에 내접하는 삼각형이고, 그 삼각형의 내부에 원점이 있다고 하자.∠YOZ=α\displaystyle \angle \mathrm{YOZ} = \alpha, ∠ZOX=β\displaystyle \angle \mathrm{ZOX} = \beta, ∠XOY=γ\displaystyle \angle \mathrm{XOY} = \gamma라고 할 때, 등식sin⁡αOX→+sin⁡βOY→+sin⁡γOZ→=0→\displaystyle \sin \alpha {\overrightarrow{\mathrm{OX}}} + \sin \beta {\overrightarrow{\mathrm{OY}}} + \sin \gamma {\overrightarrow{\mathrm{OZ}}} = {\overrightarrow{0}}가 성립함을 보이시오. (15점)

단위원에 내접한 삼각형 XYZ와 점 P가 세 영역으로 나눈 삼각형 ABC

3-2. 위의 [그림 2]와 같이 임의의 삼각형 ABC\displaystyle \mathrm{ABC}의 내부의 한 점 P\displaystyle \mathrm{P}에 대하여 △PBC\displaystyle \triangle \mathrm{PBC}, △PCA\displaystyle \triangle \mathrm{PCA}, △PAB\displaystyle \triangle \mathrm{PAB}의 넓이를 각각 p,q,r\displaystyle p , q , r이라 할 때, 등식pPA→+qPB→+rPC→=0→\displaystyle p {\overrightarrow{\mathrm{PA}}} + q {\overrightarrow{\mathrm{PB}}} + r {\overrightarrow{\mathrm{PC}}} = {\overrightarrow{0}}가 성립함을 보이시오. (20점)

해설강의 준비중

부산대 2017학년도 모의 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/pusan/2017mo/jayeon_3

+15점 · 3-1

[3-1]선분 OX\displaystyle \mathrm{OX}의 연장선 위에 XO→=OA→\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{XO}}} = {\overrightarrow{\mathrm{OA}}}가 되도록 점 A\displaystyle \mathrm{A}를 잡는다.점 A\displaystyle \mathrm{A}를 지나고 선분 OZ\displaystyle \mathrm{OZ}와 평행한 직선이 선분 OY\displaystyle \mathrm{OY}(또는 선분 OY\displaystyle \mathrm{OY}의 연장선)와 만나는 점을 B\displaystyle \mathrm{B}라 하고, 점 A\displaystyle \mathrm{A}를 지나고 선분 OY\displaystyle \mathrm{OY}와 평행한 직선이 선분 OZ\displaystyle \mathrm{OZ}(또는 선분 OZ\displaystyle \mathrm{OZ}의 연장선)와 만나는 점을 C\displaystyle \mathrm{C}라 하자.

단위원과 평행사변형 OBAC를 이용한 벡터의 합

그러면 △OAB\displaystyle \triangle \mathrm{OAB}에서BO‾BA‾sin⁡(π−α)=AO‾AB‾sin⁡(π−β)=OB‾OA‾sin⁡(π−γ)\displaystyle {\overline{BO}} {\overline{BA}} \sin ( \pi - \alpha ) = {\overline{AO}} {\overline{AB}} \sin ( \pi - \beta ) = {\overline{OB}} {\overline{OA}} \sin ( \pi - \gamma )또는OB‾AB‾sin⁡α=OA‾AB‾sin⁡β=OB‾OA‾sin⁡γ\displaystyle {\overline{OB}} {\overline{AB}} \sin \alpha = {\overline{OA}} {\overline{AB}} \sin \beta = {\overline{OB}} {\overline{OA}} \sin \gamma이다. OA‾=1\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} = 1므로OB‾sin⁡α=sin⁡β\displaystyle {\overline{OB}} \sin \alpha = \sin \beta, AB‾sin⁡α=sin⁡γ\displaystyle {\overline{AB}} \sin \alpha = \sin \gamma 이 된다. 따라서 OB‾=sin⁡βsin⁡α\displaystyle {\overline{\mathrm{OB}}} = \frac{{\sin \beta}}{\sin \alpha}이고 AB‾=sin⁡γsin⁡α\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = \frac{{\sin \gamma}}{\sin \alpha}이다.□OBAC\displaystyle \square \mathrm{OBAC}는 평행사변형이므로 OC→=BA→\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{OC}}} = {\overrightarrow{\mathrm{BA}}}이고, OA→=OB→+OC→\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{OA}}} = {\overrightarrow{\mathrm{OB}}} + {\overrightarrow{\mathrm{OC}}}이다.−OX→=sin⁡βsin⁡αOY→+sin⁡γsin⁡αOZ→\displaystyle - {\overrightarrow{\mathrm{OX}}} = \frac{{\sin \beta}}{\sin \alpha} {\overrightarrow{\mathrm{OY}}} + \frac{{\sin \gamma}}{\sin \alpha} {\overrightarrow{\mathrm{OZ}}}이므로sin⁡αOX→+sin⁡βOY→+sin⁡γOZ→=0→\displaystyle \sin \alpha {\overrightarrow{\mathrm{OX}}} + \sin \beta {\overrightarrow{\mathrm{OY}}} + \sin \gamma {\overrightarrow{\mathrm{OZ}}} = {\overrightarrow{0}}

+20점 · 3-2

[3-2]

점 P에서 세 꼭짓점을 잇는 벡터와 각 알파, 베타, 감마

∠BPC=α\displaystyle \angle \mathrm{BPC} = \alpha, ∠CPA=β\displaystyle \angle \mathrm{CPA} = \beta, ∠APB=γ\displaystyle \angle \mathrm{APB} = \gamma, PA‾=a\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} = a, PB‾=b\displaystyle \overline{\mathrm{PB}} = b, PC‾=c\displaystyle \overline{\mathrm{PC}} = c라 두면p=12bcsin⁡α\displaystyle p = \frac{{1}}{2} b c \sin \alpha, q=12casin⁡β\displaystyle q = \frac{{1}}{2} c a \sin \beta, r=12absin⁡γ\displaystyle r = \frac{{1}}{2} a b \sin \gamma이다.PX→=1aPA→\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{PX}}} = \frac{1}{a} {\overrightarrow{\mathrm{PA}}}, PY→=1bPY→\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{PY}}} = \frac{1}{b} {\overrightarrow{\mathrm{PY}}}, PZ→=1cPC→\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{PZ}}} = \frac{1}{c} {\overrightarrow{\mathrm{PC}}}라 두면1-1에 의해서 sin⁡αPX→+sin⁡βPY→+sin⁡γPZ→=0→\displaystyle \sin \alpha {\overrightarrow{\mathrm{PX}}} + \sin \beta {\overrightarrow{\mathrm{PY}}} + \sin \gamma {\overrightarrow{\mathrm{PZ}}} = {\overrightarrow{0}}, 또는sin⁡α(1aPA→)+sin⁡β(1bPB→)+sin⁡γ(1cPC→)=0→\displaystyle \sin \alpha ( \frac{{1}}{a} {\overrightarrow{\mathrm{PA}}} ) + \sin \beta ( \frac{{1}}{b} {\overrightarrow{\mathrm{PB}}} ) + \sin \gamma ( \frac{{1}}{c} {\overrightarrow{\mathrm{PC}}} ) = {\overrightarrow{0}}이다.양변에 12abc\displaystyle \frac{1}{2} a b c를 곱하면12bcsin⁡αPA→+12casin⁡βPB→+12absin⁡γPC→=0→\displaystyle \frac{{1}}{2} b c \sin \alpha {\overrightarrow{\mathrm{PA}}} + \frac{{1}}{2} c a \sin \beta {\overrightarrow{\mathrm{PB}}} + \frac{{1}}{2} a b \sin \gamma {\overrightarrow{\mathrm{PC}}} = {\overrightarrow{0}}이고따라서 p⋅PA→+q⋅PB→+r⋅PC→=0→\displaystyle p \cdot {\overrightarrow{\mathrm{PA}}} + q \cdot {\overrightarrow{\mathrm{PB}}} + r \cdot {\overrightarrow{\mathrm{PC}}} = \overrightarrow{0}이다.

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