의학계 3번

즉 서로 다른 두 직선은 한 점에서 만나고

어느 세 직선도 한 점에서 만나지 않을 때

조각의 개수가 최대이다. $\displaystyle n$개의 직선을 그어 원과 그 내부를 최대로 분할한 수를 $\displaystyle c_{2} ( n )$이라 하면$\displaystyle n=1,2,\cdots,5$ 일 때$\displaystyle \begin{aligned}c_2(1)&=2\\c_2(2)&=2+2=4\\c_2(3)&=4+3=7\\c_2(4)&=c_2(3)+4=11\end{aligned}$따라서 $\displaystyle c_{2} ( 5 )$ $\displaystyle = c_{2} \left( 4 \right) + 5$ $\displaystyle = 16$ 이다.

[3-2]$\displaystyle c_{2} ( n )$은 기존에 그어진 서로 평행하지 않은 $\displaystyle n - 1$개의 직선으로 나눠진 분할에서, 이미 그어진 직선과 평행하지 않는 새로운 직선 하나를 그어 $\displaystyle n - 1$개의 직선과 만나서 $\displaystyle n$개의 영역을 2개로 나누므로, $\displaystyle n$개의 영역이 더 생긴다.그러므로 $\displaystyle c_{2} ( k ) = c_{2} ( k - 1 ) + k$ $\displaystyle \left( k = 2 , \cdots , n \right)$ 이다.

따라서 $\displaystyle \begin{aligned}c_2(n)&=n+(n-1)+(n-2)+\cdots+2+c_2(1)\\&=n+(n-1)+(n-2)+\cdots+2+1+1\\&=\frac{n(n+1)}2+1\\&={}_{n+1}\mathrm C_2+1={}_n\mathrm C_2+{}_n\mathrm C_1+{}_n\mathrm C_0\end{aligned}$ $\displaystyle \cdots\cdots$ ① 이다.

[3-3]$\displaystyle n$개의 평면으로 구와 그 내부를 최대로 분할한 수를 $\displaystyle c_{3} ( n )$이라 하자.$\displaystyle c_{3} ( n )$은 기존에 그어진 서로 평행하지 않은 $\displaystyle n - 1$개의 평면으로 나눠진 구와 그 내부의 분할에서, $\displaystyle n$번째 평면으로 자르면 그 단면은 원과 그 내부이다. 이때 잘린 원과 그 내부는 $\displaystyle n$번째 평면과 그 전에 자른 $\displaystyle n - 1$개의 평면과의 교선으로 나눠진 형태를 가진다. 그러므로 $\displaystyle c_{2} ( n - 1 )$개의 조각이 모두 둘로 나뉘게 되므로$\displaystyle c_{3} ( k ) = c_{3} ( k - 1 ) + c_{2} ( k - 1 )$ $\displaystyle \left( k = 2 , \cdots , n \right)$ 이다.

①을 이용하여$\displaystyle \begin{aligned}c_{3} ( n ) &= c_{3} ( 1 ) + \sum_{k = 1}^{n - 1} c_{2} ( k ) \\ &= 2 + \sum_{k = 1}^{n - 1} ({}_{k}\mathrm{C}_{2} +{}_{k}\mathrm{C}_{1} +{}_{k}\mathrm{C}_{0} ) \\ &= 2 + \sum_{k = 1}^{n - 1}{}_{k}\mathrm{C}_{2} + \sum_{k = 1}^{n - 1}{}_{k}\mathrm{C}_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1}{}_{k}\mathrm{C}_{0} \\ &= 2 + ({}_{n}\mathrm{C}_{3} -{}_{1}\mathrm{C}_{2} ) +{}_{n}\mathrm{C}_{2} + ({}_{n}\mathrm{C}_{1} -{}_{0}\mathrm{C}_{0} )\\&={}_n\mathrm C_3+{}_n\mathrm C_2+{}_n\mathrm C_1+{}_n\mathrm C_0\end{aligned}$이다.