의학계 2번

[2-1] $\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{OP}}} = ( s , t )$라 두면 $\displaystyle ( t - n )^{2} = 4 ( s - m )$이고$\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{OF}}} = ( m + 1 , n )$이므로 $\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{FP}}} = ( s - m - 1 , t - n )$이다. 또, $\displaystyle y^{\prime} = \frac{{2}}{y - n}$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서의 포물선의 접선 $\displaystyle l$은 $\displaystyle y = \frac{{2}}{t - n} ( x - s ) + t$이다.따라서 $\displaystyle l$의 방향벡터는 $\displaystyle {\overrightarrow{u}} = ( t - n , 2 )$라 둘 수 있다.한편, 대칭축은 $\displaystyle x$축과 평행하므로 방향벡터는 $\displaystyle {\overrightarrow{h}} = ( 1 , 0 )$이라 둘 수 있다.$\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{FP}}}$와 $\displaystyle {\overrightarrow{u}}$가 이루는 각을 $\displaystyle \theta_{1}$, $\displaystyle {\overrightarrow{h}}$와 $\displaystyle {\overrightarrow{u}}$가 이루는 각을 $\displaystyle \theta_{2}$라고 하면$\displaystyle \begin{aligned}\cos \theta_{1} &= \frac{{{\overrightarrow{\mathrm{FP}}} \bullet {\overrightarrow{u}}}}{\left| {\overrightarrow{\mathrm{FP}}} \right| \left| {\overrightarrow{u}} \right|} = \frac{{( s - m - 1 ) ( t - n ) + 2 ( t - n )}}{\sqrt{( s - m - 1 )^{2} + ( t - n )^{2}} \sqrt{( t - n )^{2} + 4}}\\&= \frac{{t - n}}{\sqrt{( t - n )^{2} + 4}}\end{aligned}$ ($\displaystyle \because ( t - n )^{2} = 4 ( s - m )$),$\displaystyle \cos \theta_{2} = \frac{{{\overrightarrow{h}} \bullet {\overrightarrow{u}}}}{\left| {\overrightarrow{h}} \right| \left| {\overrightarrow{u}} \right|} = \frac{{t - n}}{\sqrt{( t - n )^{2} + 4}}$ 이므로 $\displaystyle \theta_{1} = \theta_{2}$ 이다.즉, 접선 $\displaystyle l$에 대한 입사각과 반사각이 같다.따라서 밑줄 친 부분이 성립함을 알 수 있다.

[2-2] $\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{HP}}} = k {\overrightarrow{u}} ( k > 0 )$라 하면, 점 $\displaystyle \mathrm{H}$는 초점 $\displaystyle \mathrm{F}$의 직선 $\displaystyle l$ 위로의 정사영이므로 $\displaystyle k \left| {\overrightarrow{u}} \right| = \left| {\overrightarrow{\mathrm{FP}}} \right| \cos \theta_{1}$이다.문1-1에서 $\displaystyle \cos \theta_{1} = \frac{{{\overrightarrow{\mathrm{FP}}} \bullet {\overrightarrow{u}}}}{\left| {\overrightarrow{\mathrm{FP}}} \right| \left| {\overrightarrow{u}} \right|}$이므로대입하여 정리하면 $\displaystyle k = \frac{{{\overrightarrow{\mathrm{FP}}} \bullet {\overrightarrow{u}}}}{\left| {\overrightarrow{u}} \right| \left| {\overrightarrow{u}} \right|}$이다. 따라서벡터 $\displaystyle \begin{aligned}{\overrightarrow{\mathrm{HP}}} &= \frac{{{\overrightarrow{\mathrm{FP}}} \bullet {\overrightarrow{u}}}}{\left| {\overrightarrow{u}} \right| \left| {\overrightarrow{u}} \right|} {\overrightarrow{u}} = \frac{{( s - m + 1 ) ( t - n )}}{( t - n )^{2} + 4} ( t - n , 2 )\\&= \frac{{t - n}}{4} ( t - n , 2 )\end{aligned}$이다. ($\displaystyle \because ( t - n )^{2} = 4 ( s - m )$)한편, $\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{FH}}} = {\overrightarrow{\mathrm{FP}}} + {\overrightarrow{\mathrm{PH}}} = {\overrightarrow{\mathrm{FP}}} - {\overrightarrow{\mathrm{HP}}}$이므로 $\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{FH}}} = ( s - m - 1 , t - n ) - ( \frac{{( t - n )^{2}}}{4} , \frac{{t - n}}{2} ) = ( - 1 , \frac{{t - n}}{2} )$이다. ($\displaystyle \because ( t - n )^{2} = 4 ( s - m )$)여기서 $\displaystyle 2 {\overrightarrow{\mathrm{FH}}} = {\overrightarrow{\mathrm{FG}}}$이므로 $\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{FG}}} = ( - 2 , t - n )$이고 점 $\displaystyle \mathrm{G}$의 좌표는 $\displaystyle ( m - 1 , t )$이다.그러므로 점 $\displaystyle \mathrm{G}$의 자취는 $\displaystyle x = m - 1$이고 포물선의 준선이다.