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의학계 2번

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부산대 2017학년도 모의 의학계 2번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/pusan/2017mo/uihak_2

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※ 모든 서술과정의 각 단계에서 근거와 이유를 명확히 밝히시오.

【문항 2】다음 제시문을 근거로 하여 아래 논제에 답하시오.

[제시문]

[가] 포물선의 대칭선은 준선에 수직이면서 초점을 지나는 직선인데, 이것을 대칭축이라고 한다. 광원을 포물선의 초점에 놓으면, 광원에서 나오는 빛은 포물선에 반사되어 대칭축과 평행한 방향으로 나아간다. 반대로 대칭축에 평행하게 포물선에 들어온 빛은 포물선에 반사되어 포물선의 초점을 지나간다. (여기서 포물선에 반사된다는 것은 포물선의 접선에 반사된다는 것을 말하며, 빛이 포물선의 접선에 반사될 때, 광원에서 포물선에 이르는 선분과 접선이 이루는 각의 크기 α\displaystyle \alpha와 빛이 반사되어 나아가는 직선과 접선이 이루는 각의 크기 β\displaystyle \beta는 같다.)

[나] 영벡터가 아닌 두 벡터 a→\displaystyle {\overrightarrow{a}},b→\displaystyle {\overrightarrow{b}}에 대하여 a→=OA→\displaystyle {\overrightarrow{a}} = {\overrightarrow{\mathrm{OA}}}, b→=OB→\displaystyle {\overrightarrow{b}} = {\overrightarrow{\mathrm{OB}}}인 점 O,A,B\displaystyle \mathrm{O} , \mathrm{A} , \mathrm{B}를 잡았을 때, θ=∠AOB(0≤θ≤π)\displaystyle \theta = \angle \mathrm{AOB}( 0 \leq \theta \leq \pi )를 두 벡터 a→\displaystyle {\overrightarrow{a}},b→\displaystyle {\overrightarrow{b}}가 이루는 각의 크기라고 한다. 또한, ∣a→∣∣b→∣cos⁡θ\displaystyle \left| {\overrightarrow{a}} \right| \left| {\overrightarrow{b}} \right| \cos \theta를 두 벡터 a→\displaystyle {\overrightarrow{a}},b→\displaystyle {\overrightarrow{b}}의 내적이라 하고 기호로 a→⋅b→\displaystyle {\overrightarrow{a}} \cdot {\overrightarrow{b}}로 나타낸다. 즉, a→⋅b→=∣a→∣∣b→∣cos⁡θ\displaystyle {\overrightarrow{a}} \cdot {\overrightarrow{b}}= \left| {\overrightarrow{a}} \right| \left| {\overrightarrow{b}} \right| \cos \theta이다.

※ 아래 그림과 같이 좌표평면 위에 포물선 (y−n)2=4(x−m)\displaystyle ( y - n )^{2} = 4 ( x - m )이 있다. 이 포물선의 초점을 F\displaystyle \mathrm{F}라 하고, 포물선 위를 움직이는 임의의 점 P\displaystyle \mathrm{P}를 잡고 점 P\displaystyle \mathrm{P}를 지나는 포물선의 접선을 l\displaystyle l이라 하자. (그림에서 O\displaystyle \mathrm{O}는 좌표평면의 원점이다.)

포물선의 초점 F, 접점 P와 입사각 알파, 반사각 베타

2-1. 제시문 [가]의 밑줄 친 부분의 명제가 성립한다는 것을 제시문 [나]를 이용하여 증명하시오. (15점)

2-2. 초점 F\displaystyle \mathrm{F}에서 직선 l\displaystyle l 위로 내린 수선의 발을 H\displaystyle \mathrm{H}라고 할 때, 제시문 [나]를 이용하여 벡터 HP→\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{HP}}}를 구하고, 2FH→=FG→\displaystyle 2 {\overrightarrow{\mathrm{FH}}} = {\overrightarrow{\mathrm{FG}}}가 성립하는 점을 G\displaystyle \mathrm{G}라고 할 때, 점 G\displaystyle \mathrm{G}의 자취의 방정식을 구하시오. (15점)

부산대 2017학년도 모의 의학계 2번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/pusan/2017mo/uihak_2

+2점 · FP→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{FP}}

[2-1] OP→=(s,t)\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{OP}}} = ( s , t )라 두면 (t−n)2=4(s−m)\displaystyle ( t - n )^{2} = 4 ( s - m )이고OF→=(m+1,n)\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{OF}}} = ( m + 1 , n )이므로 FP→=(s−m−1,t−n)\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{FP}}} = ( s - m - 1 , t - n )이다.

+2점 · 점 P\displaystyle \mathrm P에서의 포물선의 접선 l\displaystyle l

또, y′=2y−n\displaystyle y^{\prime} = \frac{{2}}{y - n}이므로 점 P\displaystyle \mathrm{P}에서의 포물선의 접선 l\displaystyle l은 y=2t−n(x−s)+t\displaystyle y = \frac{{2}}{t - n} ( x - s ) + t이다.

+4점 · 접선과 대칭축의 방향벡터

따라서 l\displaystyle l의 방향벡터는 u→=(t−n,2)\displaystyle {\overrightarrow{u}} = ( t - n , 2 )라 둘 수 있다.한편, 대칭축은 x\displaystyle x축과 평행하므로 방향벡터는 h→=(1,0)\displaystyle {\overrightarrow{h}} = ( 1 , 0 )이라 둘 수 있다.

+4점 · FP→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{FP}}와 접선의 방향벡터가 이루는 각

FP→\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{FP}}}와 u→\displaystyle {\overrightarrow{u}}가 이루는 각을 θ1\displaystyle \theta_{1}, h→\displaystyle {\overrightarrow{h}}와 u→\displaystyle {\overrightarrow{u}}가 이루는 각을 θ2\displaystyle \theta_{2}라고 하면cos⁡θ1=FP→∙u→∣FP→∣∣u→∣=(s−m−1)(t−n)+2(t−n)(s−m−1)2+(t−n)2(t−n)2+4=t−n(t−n)2+4\displaystyle \begin{aligned}\cos \theta_{1} &= \frac{{{\overrightarrow{\mathrm{FP}}} \bullet {\overrightarrow{u}}}}{\left| {\overrightarrow{\mathrm{FP}}} \right| \left| {\overrightarrow{u}} \right|} = \frac{{( s - m - 1 ) ( t - n ) + 2 ( t - n )}}{\sqrt{( s - m - 1 )^{2} + ( t - n )^{2}} \sqrt{( t - n )^{2} + 4}}\\&= \frac{{t - n}}{\sqrt{( t - n )^{2} + 4}}\end{aligned} (∵(t−n)2=4(s−m)\displaystyle \because ( t - n )^{2} = 4 ( s - m )),

+3점 · 접선에 대한 입사각과 반사각이 같음

cos⁡θ2=h→∙u→∣h→∣∣u→∣=t−n(t−n)2+4\displaystyle \cos \theta_{2} = \frac{{{\overrightarrow{h}} \bullet {\overrightarrow{u}}}}{\left| {\overrightarrow{h}} \right| \left| {\overrightarrow{u}} \right|} = \frac{{t - n}}{\sqrt{( t - n )^{2} + 4}} 이므로 θ1=θ2\displaystyle \theta_{1} = \theta_{2} 이다.즉, 접선 l\displaystyle l에 대한 입사각과 반사각이 같다.따라서 밑줄 친 부분이 성립함을 알 수 있다.

[2-1] ※ 제시문 [나]를 사용하지 않은 경우(내적을 이용하지 않은 경우) …… 0점

+2점 · 정사영을 이용한 관계식

[2-2] HP→=ku→(k>0)\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{HP}}} = k {\overrightarrow{u}} ( k > 0 )라 하면, 점 H\displaystyle \mathrm{H}는 초점 F\displaystyle \mathrm{F}의 직선 l\displaystyle l 위로의 정사영이므로 k∣u→∣=∣FP→∣cos⁡θ1\displaystyle k \left| {\overrightarrow{u}} \right| = \left| {\overrightarrow{\mathrm{FP}}} \right| \cos \theta_{1}이다.

+3점 · 내적을 이용하여 k\displaystyle k를 구함

문1-1에서 cos⁡θ1=FP→∙u→∣FP→∣∣u→∣\displaystyle \cos \theta_{1} = \frac{{{\overrightarrow{\mathrm{FP}}} \bullet {\overrightarrow{u}}}}{\left| {\overrightarrow{\mathrm{FP}}} \right| \left| {\overrightarrow{u}} \right|}이므로대입하여 정리하면 k=FP→∙u→∣u→∣∣u→∣\displaystyle k = \frac{{{\overrightarrow{\mathrm{FP}}} \bullet {\overrightarrow{u}}}}{\left| {\overrightarrow{u}} \right| \left| {\overrightarrow{u}} \right|}이다. 따라서

+5점 · 벡터 HP→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HP}}

벡터 HP→=FP→∙u→∣u→∣∣u→∣u→=(s−m+1)(t−n)(t−n)2+4(t−n,2)=t−n4(t−n,2)\displaystyle \begin{aligned}{\overrightarrow{\mathrm{HP}}} &= \frac{{{\overrightarrow{\mathrm{FP}}} \bullet {\overrightarrow{u}}}}{\left| {\overrightarrow{u}} \right| \left| {\overrightarrow{u}} \right|} {\overrightarrow{u}} = \frac{{( s - m + 1 ) ( t - n )}}{( t - n )^{2} + 4} ( t - n , 2 )\\&= \frac{{t - n}}{4} ( t - n , 2 )\end{aligned}이다. (∵(t−n)2=4(s−m)\displaystyle \because ( t - n )^{2} = 4 ( s - m ))

+3점 · 벡터 FH→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{FH}}

한편, FH→=FP→+PH→=FP→−HP→\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{FH}}} = {\overrightarrow{\mathrm{FP}}} + {\overrightarrow{\mathrm{PH}}} = {\overrightarrow{\mathrm{FP}}} - {\overrightarrow{\mathrm{HP}}}이므로 FH→=(s−m−1,t−n)−((t−n)24,t−n2)=(−1,t−n2)\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{FH}}} = ( s - m - 1 , t - n ) - ( \frac{{( t - n )^{2}}}{4} , \frac{{t - n}}{2} ) = ( - 1 , \frac{{t - n}}{2} )이다. (∵(t−n)2=4(s−m)\displaystyle \because ( t - n )^{2} = 4 ( s - m ))

+2점 · 점 G\displaystyle \mathrm G의 자취

여기서 2FH→=FG→\displaystyle 2 {\overrightarrow{\mathrm{FH}}} = {\overrightarrow{\mathrm{FG}}}이므로 FG→=(−2,t−n)\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{FG}}} = ( - 2 , t - n )이고 점 G\displaystyle \mathrm{G}의 좌표는 (m−1,t)\displaystyle ( m - 1 , t )이다.그러므로 점 G\displaystyle \mathrm{G}의 자취는 x=m−1\displaystyle x = m - 1이고 포물선의 준선이다.

Caution. 직선의 기울기를 이용할 때는 y\displaystyle y축에 평행한 경우를 따로 다루어야 한다: 꼭짓점 P=(m,n)\displaystyle P=(m,n)에서는 접선이 x=m\displaystyle x=m인 수직선이므로 기울기 2t−n\displaystyle \frac2{t-n}을 쓸 수 없다. 이때도 접선의 방향벡터 u⃗=(0,2)\displaystyle \vec u=(0,2)를 사용할 수 있으며, H=P\displaystyle H=P, HP→=0⃗\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HP}}=\vec0, G=(m−1,n)\displaystyle G=(m-1,n)이다. 이 경우를 따로 확인하면 반사 성질과 점 G\displaystyle G의 자취는 그대로 성립한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

Comment. 대학 예시답안에서 HP→=ku⃗\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HP}}=k\vec u의 계수는 k=t−n4\displaystyle k=\frac{t-n}4이다. 따라서 t<n\displaystyle t<n이면 k<0\displaystyle k<0이고 t=n\displaystyle t=n이면 k=0\displaystyle k=0이므로, k>0\displaystyle k>0으로 제한할 수 없다. k\displaystyle k를 실수로 두고 내적을 이용해 계산하면 대학 답안의 벡터 식과 G=(m−1,t)\displaystyle G=(m-1,t)라는 결론은 그대로 성립한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[2-2] ※ 제시문 [나]를 사용하지 않은 경우(내적을 이용하지 않은 경우) …… 0점

첨삭 사례

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