의학계 1번

[1-1]제시문(가)에 의해 $\displaystyle x = 0$에서 미분가능하기 위해서는 $\displaystyle \lim_{x \to 0} {}\frac{{f ( x ) - f ( 0 )}}{x}$의 값이 존재하여야 한다.$\displaystyle \lim_{x \to 0} {\frac{{f \left( x \right) - f \left( 0 \right)}}{x} = \lim_{x \to 0} {\frac{{x^{n} \sin \frac{{1}}{x^{2}}}}{x} = \lim_{x \to 0} {x^{n - 1} \sin \frac{{1}}{x^{2}}}}}$이다. 여기서 $\displaystyle - \left| x^{n - 1} \right| \leq x^{n - 1} \sin \frac{{1}}{x^{2}} \leq \left| x^{n - 1} \right|$이고, $\displaystyle \lim_{x \to 0} {\left( - \left| x^{n - 1} \right| \right)} = \lim_{x \to 0} {\left| x^{n - 1} \right|} = 0$ $\displaystyle ( \because n \geq 2 )$이므로, 제시문(다)에 의해서 $\displaystyle \lim_{x \to 0} {x^{n - 1} \sin \frac{{1}}{x^{2}} = 0}$이다. 따라서 $\displaystyle f^{\prime} \left( 0 \right) = 0$으로 존재하므로, 함수 $\displaystyle f \left( x \right)$는 $\displaystyle x = 0$에서 미분가능하다.

[1-2]$\displaystyle a = x , a b = x + h$라 두면 $\displaystyle b = \frac{{x + h}}{a} = \frac{{x + h}}{x}$이고, $\displaystyle a , b$는 양수이다. 이를 부등식 $\displaystyle g ( a b ) \leq g ( a ) + g ( b ) - 1$에 대입하면, $\displaystyle g \left( {x + h} \right) \leq g ( x ) + g \left( \frac{{x + h}}{x} \right) - 1$이다. 여기서 부등식 $\displaystyle g ( b ) \leq b$에 의하여 $\displaystyle g \left( \frac{{x + h}}{x} \right) \leq \frac{{x + h}}{x}$이므로, $\displaystyle g ( x + h ) \leq g ( x ) + \frac{{x + h}}{x} - 1 = g ( x ) + \frac{{h}}{x}$이 성립한다. 즉, $\displaystyle g ( x + h ) - g ( x ) \leq \frac{{h}}{x}$----①이 성립한다.또한, $\displaystyle a = x + h , a b = x$라 두면, $\displaystyle b = \frac{{x}}{a} = \frac{{x}}{x + h}$이고, $\displaystyle a , b$는 양수이다. 이를 부등식 $\displaystyle g ( a b ) \leq g ( a ) + g ( b ) - 1$에 대입하면, $\displaystyle g \left( x \right) \leq g ( x + h ) + g \left( \frac{{x}}{x + h} \right) - 1$이다. 여기서 부등식 $\displaystyle g ( b ) \leq b$에 의하여 $\displaystyle g \left( \frac{{x}}{x + h} \right) \leq \frac{{x}}{x + h}$이므로, 부등식 $\displaystyle g \left( x \right) \leq g ( x + h ) + \frac{{x}}{x + h} - 1 = g ( x + h ) - \frac{{h}}{x + h}$이 성립한다. 즉, $\displaystyle \frac{{h}}{x + h} \leq g ( x + h ) - g ( x )$------②이 성립한다.최종적으로 ①, ②에서 $\displaystyle \frac{{h}}{x + h} \leq g ( x + h ) - g ( x ) \leq \frac{{h}}{x}$이다.

[1-3](i) $\displaystyle h > 0$일 때, [5-2]의 결론에 의해 $\displaystyle \frac{{1}}{x + h} \leq \frac{{g ( x + h ) - g ( x )}}{h} \leq \frac{{1}}{x}$이고, 제시문(다)에 의해$\displaystyle \lim_{h \to 0 +} {\frac{{g ( x + h ) - g ( x )}}{h} = \frac{{1}}{x}}$이다.(ii) $\displaystyle h < 0$일 때, $\displaystyle \left| h \right|$를 충분히 작게 하면 $\displaystyle x + h > 0$이므로, [5-2]의 풀이과정과 같이 양수 $\displaystyle a , b$를 택할 수 있고, [5-2]와 똑같은 결론 $\displaystyle \frac{{h}}{x + h} \leq g ( x + h ) - g ( x ) \leq \frac{{h}}{x}$을 얻는다. 여기서 $\displaystyle h$가 음수이므로, 양변을 $\displaystyle h$로 나누면 $\displaystyle \frac{{1}}{x + h} \geq \frac{{g ( x + h ) - g ( x )}}{h} \geq \frac{{1}}{x}$를 얻는다. 그러면 제시문(다)에 의해 $\displaystyle \lim_{h \to 0 -} {\frac{{g ( x + h ) - g ( x )}}{h} = \frac{{1}}{x}}$이다.최종적으로 (i), (ii)와 제시문(나)에 의해서, $\displaystyle g^{\prime} ( x ) = \lim_{h \to 0} {\frac{{g ( x + h ) - g ( x )}}{h} = \frac{{1}}{x}}$이다.