자연계열 2번

[2-1]$\displaystyle X$를 $\displaystyle A$문항을 선택한 $\displaystyle 100$명 중 정답자의 수라고 정의하자. 그러면 $\displaystyle X$는 이항분포$\displaystyle ( n = 100 , p = 0.7 )$를 따르고, 제시문 [가]에 의해 근사적으로 평균은 $\displaystyle 70$이고 분산이 $\displaystyle 21$인 정규분포를 따르게 된다. 치료된 환자의 수가 $\displaystyle 60$명 이상일 확률은 $\displaystyle P ( 60 \leq X \leq 100 )$이고 제시문 [나]에 의해서$\displaystyle \begin{aligned}P(60\le X\le100)&=P\left(\frac{60-70}{\sqrt{21}}\le Z\le\frac{100-70}{\sqrt{21}}\right)=P\left(Z\le\frac{30}{\sqrt{21}}\right)-P\left(Z\le-\frac{10}{\sqrt{21}}\right)\\&=1-P\left(Z>\frac{30}{\sqrt{21}}\right)-P\left(Z\le\frac{-10}{\sqrt{21}}\right).\end{aligned}$마찬가지로 $\displaystyle Y$를 $\displaystyle B$문항을 선택한 $\displaystyle 100$명 중 정답자의 수라고 정의하자. 그러면 $\displaystyle Y$는 이항분포$\displaystyle ( n = 100 , p = 0.8 )$를 따른다. 제시문 [가]에 의해 정규분포로 근사시킬 경우 $\displaystyle Y$는 평균이 $\displaystyle 80$이고 분산이 $\displaystyle 16$인 정규분포를 따른다. 치료된 환자의 수가 $\displaystyle 70$명 이상일 확률은 $\displaystyle P ( 70 \leq Y \leq 100 )$이고 제시문 [나]에 의해서$\displaystyle \begin{aligned}P(70\le Y\le100)&=P\left(\frac{70-80}4\le Z\le\frac{100-80}4\right)=P\left(Z\le\frac{20}4\right)-P\left(Z\le-\frac{10}4\right)\\&=1-P(Z>5)-P\left(Z\le\frac{-10}4\right).\end{aligned}$제시문 [다]에 의해서 $\displaystyle P ( Z > 5 ) \approx 0.00001$ 이고 $\displaystyle P ( Z > \frac{{30}}{\sqrt{21}} ) < P ( Z > 5 ) \approx 0.00001$이므로 두 확률 $\displaystyle P ( Z > \frac{{30}}{\sqrt{21}} )$ 와 $\displaystyle P ( Z > 5 )$ 은 모두 0에 가깝다고 할 수 있다. 그리고$\displaystyle P ( Z \leq \frac{{- 10}}{4} ) < P ( Z \leq \frac{{- 10}}{\sqrt{21}} )$ 이므로, $\displaystyle P ( 60 \leq X \leq 100 ) < P ( 70 \leq Y \leq 100 )$. 즉, 후자의 확률이 더 높다.

[2-2]$\displaystyle B$문항의 정답률 $\displaystyle p_{B}$의 $\displaystyle 95 \%$신뢰구간의 길이는 제시문 [라]를 이용하면 다음과 같다.$\displaystyle 2 \times 1.96 \sqrt{\frac{{\hat{p} ( 1 - \hat{p} )}}{n}}$$\displaystyle B$문항을 선택한 학생들의 수 $\displaystyle n$은 어떤 큰 값으로 고정되어 있기 때문에 신뢰구간의 길이는 표본비율 $\displaystyle \hat{p}$에 대한 함수이며, 이 길이가 최대값을 가질 경우는 $\displaystyle \hat{p} = \frac{{1}}{2}$일　때이다. $\displaystyle \hat{p}_{1}$이 $\displaystyle B$문항을 선택한 남학생들 중 정답자의 비율이라 두고, $\displaystyle \hat{p_{2}}$를 $\displaystyle B$문항을 선택한 여학생들 중 정답자의 비율이라고 하자. 그리고 $\displaystyle n_{1}$과 $\displaystyle n_{2}$는 각각 $\displaystyle B$문항을 선택한 남학생들의 수와 여학생들의 수라고 표시하자. 그러면 $\displaystyle B$문항을 선택한 학생들 중 정답자의 비율은 다음과 같다.$\displaystyle \hat{p} = \frac{{\hat{p}_{1} n_{1} + \hat{p}_{2} n_{2}}}{n_{1} + n_{2}}$그리고 주어진 문제에 의해서$\displaystyle n_{1} = \left( 1 + \frac{{k}}{100} \right) n_{2}$, $\displaystyle \hat{p}_{2} = \left( 1 - \frac{{m}}{100} \right) \hat{p}_{1}$이다. 이 두 식을 위의 $\displaystyle \hat{p}$에 대입하면$\displaystyle \hat{p} = \frac{{\left( 1 + \frac{{k}}{100} \right) + \left( 1 - \frac{{m}}{100} \right)}}{\left( 1 + \frac{{k}}{100} \right) + 1} \hat{p_{1}}$이고, $\displaystyle \hat{p} = \frac{{1}}{2}$이 되어야 하므로 최종적으로$\displaystyle \hat{p_{1}} = \frac{{200 + k}}{400 + 2 ( k - m )}$이다.