자연계열 1번

부산대 2017학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/pusan/2017su/jayeon_1

【문항 $\displaystyle 1$ 】 다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) (삼수선의 정리)평면 $\displaystyle \alpha$ 위에 있지 않은 한 점 $\displaystyle {\mathrm{P}}$ 와 평면 $\displaystyle \alpha$ 위에 있는 직선 $\displaystyle l$ , 직선 $\displaystyle l$ 위에 있는 한 점 $\displaystyle {\mathrm{H}}$ , 평면 $\displaystyle \alpha$ 위에 있으면서 직선 $\displaystyle l$ 위에 있지 않은 점 $\displaystyle {\mathrm{O}}$ 에 대하여 아래의 사실이 성립한다.

(1) $\displaystyle \overline{{\mathrm{PO}}} \perp \alpha , \overline{{\mathrm{OH}}} \perp l$ 이면 $\displaystyle \overline{{\mathrm{PH}}} \perp l$ 이다.(2) $\displaystyle \overline{{\mathrm{PO}}} \perp \alpha , \overline{{\mathrm{PH}}} \perp l$ 이면 $\displaystyle \overline{{\mathrm{OH}}} \perp l$ 이다.(3) $\displaystyle \overline{{\mathrm{PH}}} \perp l , \overline{{\mathrm{OH}}} \perp l , \overline{{\mathrm{PO}}} \perp \overline{{\mathrm{OH}}}$ 이면 $\displaystyle \overline{{\mathrm{PO}}} \perp \alpha$ 이다.

(나) 그림과 같이 직선 $\displaystyle l$ 과 평면 $\displaystyle \alpha$ 가 한 점에서 만나고 수직이 아닐 때, 직선 $\displaystyle l$ 의 평면 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영을 직선 $\displaystyle l^{\prime}$ 이라고 하자. 이때 두 직선 $\displaystyle l$ 과 $\displaystyle l^{\prime}$ 이 이루는 각을 직선 $\displaystyle l$ 과 평면 $\displaystyle \alpha$ 가 이루는 각이라고 한다.

사면체 $\displaystyle {\mathrm{OABC}}$ 에서 $\displaystyle \overline{{\mathrm{OA}}} , \overline{{\mathrm{OB}}} , \overline{{\mathrm{OC}}}$ 는 각각 서로 수직이며, $\displaystyle \overline{{\mathrm{OA}}} = 2 , \overline{{\mathrm{OB}}} = 2$ , $\displaystyle \overline{{\mathrm{OC}}} = 1$ 이다. 점 $\displaystyle {\mathrm{O}}$ 에서 밑면 $\displaystyle {\mathrm{ABC}}$ 에 내린 수선의 발을 $\displaystyle {\mathrm{H}}$ 라고 할 때, 다음 논제에 답하시오.

1-1. 점 $\displaystyle {\mathrm{O}}$ 에서 $\displaystyle \overline{{\mathrm{AB}}}$ 에 내린 수선의 발을 $\displaystyle {\mathrm{D}}$ 라 할 때, $\displaystyle \overline{{\mathrm{AB}}}$ 와 $\displaystyle \overline{{\mathrm{HD}}}$ 가 서로 수직임을 제시문을 이용하여 설명하시오. [ $\displaystyle 10$ 점]

1-2. 평면 $\displaystyle {\mathrm{OAB}}$ 와 직선 $\displaystyle {\mathrm{OH}}$ 가 이루는 각을 $\displaystyle \theta$ 라 할 때, $\displaystyle {\sin}^{2} \theta$ 의 값을 구하시오. [ $\displaystyle 20$ 점]

해설강의 준비중

부산대 2017학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/pusan/2017su/jayeon_1

+5점 · (면

\displaystyle \mathrm{ABC}

)

\displaystyle \perp\overline{\mathrm{OH}}

이고,

\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}\perp\overline{\mathrm{OD}}

임을 안다.

1-1.주어진 문제에서 (면 $\displaystyle {\mathrm{ABC}} ) \perp \overline{{\mathrm{OH}}}$ 이고, $\displaystyle \overline{{\mathrm{AB}}} \perp \overline{{\mathrm{OD}}}$ 이다.

+5점 · 제시문(가)의 삼수선의 정리를 이용하여 두 선분이 수직임을 설명할 수 있다.

제시문 (가)의 삼수선의 정리에 의하여 $\displaystyle \overline{{\mathrm{HD}}} \perp \overline{{\mathrm{AB}}}$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}

\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}

의 길이를 구할 수 있다.

1-2. $\displaystyle \overline{{\mathrm{OA}}} = 2 , \overline{{\mathrm{OB}}} = 2 , \angle {\mathrm{AOB}} = \frac{{\pi}}{2}$ 이므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{AB}}} = 2 \sqrt{2}$ 이다. $\displaystyle \overline{{\mathrm{OC}}} = 1 , \overline{{\mathrm{OD}}} = \sqrt{2}$ 이므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{CD}}} = \sqrt{3}$ 이다.

+5점 · 제시문(나)를 이용하여

\displaystyle \theta

가

\displaystyle \angle\mathrm{HOD}

임을 알 수 있다.

점 $\displaystyle {\mathrm{H}}$ 에서 $\displaystyle \overline{{\mathrm{OD}}}$ 에 내린 수선의 발을 $\displaystyle {\mathrm{E}}$ 라 두면제시문 (나)에 의하여 $\displaystyle \theta$ 는 $\displaystyle \angle {\mathrm{HOD}}$ 이다.

+5점 · 삼각형의 닮음을 이용하여

\displaystyle \angle\mathrm{HOD}=\angle\mathrm{OCD}

임을 알 수 있다.

삼각형 OCD 와 삼각형 HOD 가 닮음이므로 $\displaystyle \angle {\mathrm{HOD}} = \angle {\mathrm{OCD}}$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle \sin^2\theta

를 구할 수 있다.

따라서, 삼각형 HOD 에서 $\displaystyle \therefore {\sin}^{2} \theta = \left( \frac{{\overline{{\mathrm{OD}}}}}{\overline{{\mathrm{CD}}}} \right)^{2} = \left( \frac{{\sqrt{2}}}{\sqrt{3}} \right)^{2} = \frac{{2}}{3}$

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