자연계열 1번

1-1.주어진 문제에서 (면 $\displaystyle {\mathrm{ABC}} ) \perp \overline{{\mathrm{OH}}}$이고, $\displaystyle \overline{{\mathrm{AB}}} \perp \overline{{\mathrm{OD}}}$이다.제시문 (가)의 삼수선의 정리에 의하여 $\displaystyle \overline{{\mathrm{HD}}} \perp \overline{{\mathrm{AB}}}$이다.

1-2.$\displaystyle \overline{{\mathrm{OA}}} = 2 , \overline{{\mathrm{OB}}} = 2 , \angle {\mathrm{AOB}} = \frac{{\pi}}{2}$이므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{AB}}} = 2 \sqrt{2}$이다.$\displaystyle \overline{{\mathrm{OC}}} = 1 , \overline{{\mathrm{OD}}} = \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{CD}}} = \sqrt{3}$이다.

점 $\displaystyle {\mathrm{H}}$에서 $\displaystyle \overline{{\mathrm{OD}}}$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle {\mathrm{E}}$라 두면제시문 (나)에 의하여 $\displaystyle \theta$는 $\displaystyle \angle {\mathrm{HOD}}$이다.

삼각형 OCD 와 삼각형 HOD 가 닮음이므로$\displaystyle \angle {\mathrm{HOD}} = \angle {\mathrm{OCD}}$이다.

따라서, 삼각형 HOD 에서$\displaystyle \therefore {\sin}^{2} \theta = \left( \frac{{\overline{{\mathrm{OD}}}}}{\overline{{\mathrm{CD}}}} \right)^{2} = \left( \frac{{\sqrt{2}}}{\sqrt{3}} \right)^{2} = \frac{{2}}{3}$