의학계 3번

3-1.수식의 값이 $\displaystyle 7$이 되기 위해서는 $\displaystyle + 1$이 $\displaystyle 9$회 $\displaystyle - 1$이 $\displaystyle 2$회 나와야 한다. $\displaystyle + 1$이 나오는 경우는 $\displaystyle \left( + , 1 \right)$ 또는 $\displaystyle \left( - , - 1 \right)$이 적힌 두 개의 공이 연이어 나올 때 이고 $\displaystyle - 1$이 나오는 경우는 $\displaystyle \left( - , 1 \right)$ 또는 $\displaystyle \left( + , - 1 \right)$이 적힌 두 개의 공이 연이어 나올 때 이다.

첫 번째 공이 $\displaystyle 1$이 적힌 공이 나오고 $\displaystyle + 1$이 $\displaystyle 8$회 $\displaystyle - 1$이 $\displaystyle 2$회 나올 확률은$\displaystyle \frac{2}{3}\left(\sum_{i=0}^{8}\left(\frac16\right)^i\left(\frac14\right)^{8-i}\right)\left(\sum_{j=0}^{2}\left(\frac1{12}\right)^j\left(\frac12\right)^{2-j}\right)$제시문 (가)에 의해서 위 식은$\displaystyle \frac{2}{3} \left( \frac{5}{12} \right)^{8} \left( \frac{7}{12} \right)^{2}$이며 $\displaystyle + 1$이 $\displaystyle 8$회 $\displaystyle - 1$이 $\displaystyle 2$회 나올 경우의 수는 제시문 (나)에 의해서 $\displaystyle {}_{10}\mathrm{C}_{2} = 45$이다.첫 번째 공이 $\displaystyle - 1$이 적힌 공이 나오고 $\displaystyle + 1$이 $\displaystyle 9$회 $\displaystyle - 1$이 $\displaystyle 1$회 나올 확률은$\displaystyle \frac{1}{3}\left(\sum_{i=0}^{9}\left(\frac16\right)^i\left(\frac14\right)^{9-i}\right)\left(\sum_{j=0}^{1}\left(\frac1{12}\right)^j\left(\frac12\right)^{1-j}\right)$제시문 (가)에 의해서 위 식은$\displaystyle \frac{1}{3} \left( \frac{5}{12} \right)^{9} \left( \frac{7}{12} \right)$이며 $\displaystyle + 1$이 $\displaystyle 9$회 $\displaystyle - 1$이 $\displaystyle 1$회 나올 경우의 수는 제시문 (나)에 의해서 $\displaystyle {}_{10}\mathrm{C}_{1} = 10$이다.그러므로 수식의 값이 $\displaystyle 7$이 될 확률은$\displaystyle 45 \frac{2}{3} \left( \frac{5}{12} \right)^{8} \left( \frac{7}{12} \right)^{2} + 10 \frac{1}{3} \left( \frac{5}{12} \right)^{9} \left( \frac{7}{12} \right)^{1} = \frac{595}{54} \left( \frac{5}{12} \right)^{8}$

3-2.최댓값을 갖기 위해서는 최대한 많이 $\displaystyle + 1$이 연이어 나오거나 $\displaystyle - \left( - 1 \right)$이 연이어 나와야 한다. $\displaystyle m > 9$이므로 $\displaystyle -$가 적힌 공의 수는 $\displaystyle - 1$이 적힌 공의 수보다 항상 적다. 그러므로 $\displaystyle - \left( - 1 \right)$은 최대 $\displaystyle \left( 19 - m \right)$회 나오게 되며 $\displaystyle - 1$적힌 공은 $\displaystyle \left( 2 m - 19 \right)$개가 남게 된다. 반면 $\displaystyle +$가 적힌 공의 수는 $\displaystyle 1$이 적힌 공의 수보다 항상 많으므로 $\displaystyle + 1$은 최대 $\displaystyle \left( 21 - m \right)$회 나온다. 따라서 최댓값은 $\displaystyle \left( 19 - m \right) + \left( 21 - m \right) - \left( 2 m - 19 \right) = 59 - 4 m$이다.

최댓값 $\displaystyle \left( 59 - 4 m \right)$을 갖는 경우의 수는 첫 번째 공의 결과에 따라 두 가지로 나누어진다. 첫 번째 공이 숫자 $\displaystyle 1$이 적힌 공일 경우

이를 나열하는 경우의 수는 제시문 (나)에 의해서 $\displaystyle {}_{20}\mathrm C_m\times{}_m\mathrm C_{19-m}$이고첫 번째 공이 숫자 $\displaystyle -1$이 적힌 공일 경우

이를 나열하는 경우의 수는 제시문 (나)에 의해서 $\displaystyle {}_{20}\mathrm C_{m-1}\times{}_{m-1}\mathrm C_{19-m}$이다.따라서 최댓값을 갖는 경우의 수는$\displaystyle {}_{20}\mathrm C_m\times{}_m\mathrm C_{19-m}+{}_{20}\mathrm C_{m-1}\times{}_{m-1}\mathrm C_{19-m}$.