의학계 3번

부산대 2017학년도 수시 의학계 3번 · mathesis.kr/archive/pusan/2017su/uihak_3

【문항 3】 다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle (a+b)^n=\sum_{r=0}^n{}_n\mathrm C_r a^{n-r}b^r$ 이다.

(나) 서로 다른 두 종류의 공이 각각 $\displaystyle m$ 개와 $\displaystyle n$ 개로 주어졌을 때 이를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{m+n}\mathrm C_m={}_{m+n}\mathrm C_n$ 이다.

상자 $\displaystyle \mathrm{A}$ 와 상자 $\displaystyle \mathrm{B}$ 에는 각각 두 가지 종류의 공이 들어있다. 상자 $\displaystyle \mathrm{A}$ 에는 숫자 $\displaystyle 1$ 이 적힌 공과 숫자 $\displaystyle - 1$ 이 적힌 공이 들어 있으며, 상자 $\displaystyle \mathrm{B}$ 에는 덧셈 기호 $\displaystyle +$ 가 적힌 공과 뺄셈 기호 $\displaystyle -$ 가 적힌 공이 들어있다. 상자 $\displaystyle \mathrm{A}$ 에서 시작하여 두 상자에서 교대로 공 한 개씩을 꺼내어 상자 $\displaystyle \mathrm{A}$ 에서는 $\displaystyle n$ 개, 상자 $\displaystyle \mathrm{B}$ 에서는 $\displaystyle \left( n - 1 \right)$ 개가 나오도록 한다. 꺼낸 순서대로 공을 일렬로 나열하여 만든 수식의 값을 구한다. (단, 상자에서 한 개의 공을 꺼낼 때마다 꺼낸 공과 같은 공을 그 상자에 채워 넣는다.)

(예) $\displaystyle n = 4$ 일 때, 다음의 순서로 공을 꺼낼 경우 수식의 값은 $\displaystyle 1 + \left( - 1 \right) - \left( - 1 \right) - 1 = 0$ 이다.

1, 더하기, 마이너스1, 빼기, 마이너스1, 빼기, 1 순서로 꺼낸 공

3-1. 상자 $\displaystyle \mathrm{A}$ 에서 숫자 $\displaystyle 1$ 이 적힌 공을 꺼낼 확률은 $\displaystyle \frac{2}{3}$ , 숫자 $\displaystyle - 1$ 이 적힌 공을 꺼낼 확률은 $\displaystyle \frac{1}{3}$ 이고, 상자 $\displaystyle \mathrm{B}$ 에서 기호 $\displaystyle +$ 가 적힌 공을 꺼낼 확률은 $\displaystyle \frac{1}{4}$ , 기호 $\displaystyle -$ 가 적힌 공을 꺼낼 확률은 $\displaystyle \frac{3}{4}$ 이라고 하자. $\displaystyle n = 11$ 일 때, 수식의 값이 $\displaystyle 7$ 이 될 확률을 구하시오. [15점]

3-2. 어떤 자연수 $\displaystyle m$ $\displaystyle \left( 9 < m < 20 \right)$ 에 대하여, 숫자 $\displaystyle 1$ 이 적힌 공 $\displaystyle \left( 21 - m \right)$ 개, 숫자 $\displaystyle - 1$ 이 적힌 공 $\displaystyle m$ 개, 기호 $\displaystyle +$ 가 적힌 공 $\displaystyle \left( m + 1 \right)$ 개, 기호 $\displaystyle -$ 가 적힌 공 $\displaystyle \left( 19 - m \right)$ 개가 나오는 모든 가능한 경우에 나타나는 수식의 값 중에서 최댓값을 $\displaystyle m$ 을 사용하여 나타내시오. 그리고 최댓값이 나오는 경우의 수를 $\displaystyle m$ 과 조합기호 $\displaystyle {}_n\mathrm{C}_r$ 를 사용하여 나타내시오. [20점]

해설강의 준비중

부산대 2017학년도 수시 의학계 3번 · mathesis.kr/archive/pusan/2017su/uihak_3

+5점 · 수식의 값이 7이 되는 공의 조합의 경우의 수를 구할 수 있다.

3-1.수식의 값이 $\displaystyle 7$ 이 되기 위해서는 $\displaystyle + 1$ 이 $\displaystyle 9$ 회 $\displaystyle - 1$ 이 $\displaystyle 2$ 회 나와야 한다. $\displaystyle + 1$ 이 나오는 경우는 $\displaystyle \left( + , 1 \right)$ 또는 $\displaystyle \left( - , - 1 \right)$ 이 적힌 두 개의 공이 연이어 나올 때 이고 $\displaystyle - 1$ 이 나오는 경우는 $\displaystyle \left( - , 1 \right)$ 또는 $\displaystyle \left( + , - 1 \right)$ 이 적힌 두 개의 공이 연이어 나올 때 이다.

+10점 · 각각 사건이 일어날 수 있는 확률을 계산할 수 있다.

첫 번째 공이 $\displaystyle 1$ 이 적힌 공이 나오고 $\displaystyle + 1$ 이 $\displaystyle 8$ 회 $\displaystyle - 1$ 이 $\displaystyle 2$ 회 나올 확률은 $\displaystyle \frac{2}{3}\left(\sum_{i=0}^{8}\left(\frac16\right)^i\left(\frac14\right)^{8-i}\right)\left(\sum_{j=0}^{2}\left(\frac1{12}\right)^j\left(\frac12\right)^{2-j}\right)$ 제시문 (가)에 의해서 위 식은 $\displaystyle \frac{2}{3} \left( \frac{5}{12} \right)^{8} \left( \frac{7}{12} \right)^{2}$ 이며 $\displaystyle + 1$ 이 $\displaystyle 8$ 회 $\displaystyle - 1$ 이 $\displaystyle 2$ 회 나올 경우의 수는 제시문 (나)에 의해서 $\displaystyle {}_{10}\mathrm{C}_{2} = 45$ 이다.첫 번째 공이 $\displaystyle - 1$ 이 적힌 공이 나오고 $\displaystyle + 1$ 이 $\displaystyle 9$ 회 $\displaystyle - 1$ 이 $\displaystyle 1$ 회 나올 확률은 $\displaystyle \frac{1}{3}\left(\sum_{i=0}^{9}\left(\frac16\right)^i\left(\frac14\right)^{9-i}\right)\left(\sum_{j=0}^{1}\left(\frac1{12}\right)^j\left(\frac12\right)^{1-j}\right)$ 제시문 (가)에 의해서 위 식은 $\displaystyle \frac{1}{3} \left( \frac{5}{12} \right)^{9} \left( \frac{7}{12} \right)$ 이며 $\displaystyle + 1$ 이 $\displaystyle 9$ 회 $\displaystyle - 1$ 이 $\displaystyle 1$ 회 나올 경우의 수는 제시문 (나)에 의해서 $\displaystyle {}_{10}\mathrm{C}_{1} = 10$ 이다.그러므로 수식의 값이 $\displaystyle 7$ 이 될 확률은 $\displaystyle 45 \frac{2}{3} \left( \frac{5}{12} \right)^{8} \left( \frac{7}{12} \right)^{2} + 10 \frac{1}{3} \left( \frac{5}{12} \right)^{9} \left( \frac{7}{12} \right)^{1} = \frac{595}{54} \left( \frac{5}{12} \right)^{8}$

+5점 · 모든 조합을 통해 구한 수식의 값 중에서 최댓값을 구할 수 있다.

3-2.최댓값을 갖기 위해서는 최대한 많이 $\displaystyle + 1$ 이 연이어 나오거나 $\displaystyle - \left( - 1 \right)$ 이 연이어 나와야 한다. $\displaystyle m > 9$ 이므로 $\displaystyle -$ 가 적힌 공의 수는 $\displaystyle - 1$ 이 적힌 공의 수보다 항상 적다. 그러므로 $\displaystyle - \left( - 1 \right)$ 은 최대 $\displaystyle \left( 19 - m \right)$ 회 나오게 되며 $\displaystyle - 1$ 적힌 공은 $\displaystyle \left( 2 m - 19 \right)$ 개가 남게 된다. 반면 $\displaystyle +$ 가 적힌 공의 수는 $\displaystyle 1$ 이 적힌 공의 수보다 항상 많으므로 $\displaystyle + 1$ 은 최대 $\displaystyle \left( 21 - m \right)$ 회 나온다. 따라서 최댓값은 $\displaystyle \left( 19 - m \right) + \left( 21 - m \right) - \left( 2 m - 19 \right) = 59 - 4 m$ 이다.

+6점 · 수식의 최댓값이 나오는 공의 모든 조합을 찾을 수 있다.

+9점 · 제시문 (나)를 활용하여 각 조합의 경우의 수를 계산할 수 있다.

최댓값 $\displaystyle \left( 59 - 4 m \right)$ 을 갖는 경우의 수는 첫 번째 공의 결과에 따라 두 가지로 나누어진다. 첫 번째 공이 숫자 $\displaystyle 1$ 이 적힌 공일 경우

	$+1$	$-(-1)$	$+(-1)$
횟수	$20-m$	$19-m$	$2m-19$

이를 나열하는 경우의 수는 제시문 (나)에 의해서 $\displaystyle {}_{20}\mathrm C_m\times{}_m\mathrm C_{19-m}$ 이고첫 번째 공이 숫자 $\displaystyle -1$ 이 적힌 공일 경우

	$+1$	$-(-1)$	$+(-1)$
횟수	$21-m$	$19-m$	$2m-20$

이를 나열하는 경우의 수는 제시문 (나)에 의해서 $\displaystyle {}_{20}\mathrm C_{m-1}\times{}_{m-1}\mathrm C_{19-m}$ 이다.따라서 최댓값을 갖는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{20}\mathrm C_m\times{}_m\mathrm C_{19-m}+{}_{20}\mathrm C_{m-1}\times{}_{m-1}\mathrm C_{19-m}$ .

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.

의학계 3번

문제

첨삭 사례

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개