의학계 1번

1-1.$\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AH}}}{\overline{\mathrm{AB}}} = t$ $\displaystyle \left( 0 \le t \le 1 \right)$이므로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}} = ( 1 - t ) \overrightarrow{\mathrm{OA}} + t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$가 된다.

이등변삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}$와 $\displaystyle \overline{\mathrm{OB}}$가 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \alpha$라고 하면, 덧셈정리에 의하여 $\displaystyle \cos \alpha = \cos \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} \right)= \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{7}{9}$임을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} = 9 \cos \alpha = 7$$\displaystyle | \overrightarrow{\mathrm{OH}} |^{2} = ( ( 1 - t ) \overrightarrow{\mathrm{OA}} + t \overrightarrow{\mathrm{OB}} ) \cdot ( ( 1 - t ) \overrightarrow{\mathrm{OA}} + t \overrightarrow{\mathrm{OB}} )= 4 t^{2} - 4 t + 9$이므로 $\displaystyle | \overrightarrow{\mathrm{OH}} | = \sqrt{4 t^{2} - 4 t + 9}$이다.

1-2.삼각형 $\displaystyle \mathrm{OBC}$는 한 변의 길이가 $\displaystyle 3$인 정삼각형이므로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}} = \frac{9}{2}$이다.이등변삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAC}$에서 변 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}$와 변 $\displaystyle \overline{\mathrm{OC}}$가 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \beta$라고 하면 덧셈정리를 이용하여 $\displaystyle \cos \beta = \cos \left( \frac{\beta}{2} + \frac{\beta}{2} \right)= \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\beta}{2} - \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\beta}{2} = \frac{1}{9}$이고$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}} = 9 \cos \beta = 1$, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}$와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}}$가 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta$라고 하면$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}} = 1 + \frac{7}{2} t$이므로 $\displaystyle \cos \theta = \frac{{\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}}}}{| \overrightarrow{\mathrm{OC}} | | \overrightarrow{\mathrm{OH}} |}= \frac{{2 + 7 t}}{6 \sqrt{4 t^{2} - 4 t + 9}}$이 된다.

(삼각형 $\displaystyle \mathrm{OHC}$의 넓이)$\displaystyle \begin{aligned}&=\frac12|\overrightarrow{\mathrm{OH}}||\overrightarrow{\mathrm{OC}}|\sin\theta\\&=\frac12 3\sqrt{4t^2-4t+9}\sqrt{1-\cos^2\theta}\\&=\frac14\sqrt{95t^2-172t+320}\end{aligned}$

이 되고 $\displaystyle 95 t^{2} - 172 t + 320= 95 \left( t - \frac{86}{95} \right)^{2} + \frac{23004}{95}$이므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OHC}$의 넓이가 최소가 되는 $\displaystyle t$의 값은 $\displaystyle \frac{86}{95}$이다.