의학계 2번

2-1.함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프의 개형을 $\displaystyle f^{\prime}(x)$, $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)$와 점근선을 이용하여 그린다.

점 $\displaystyle \left(-\frac{11}{2},0\right)$에서 그은 직선과 곡선 $\displaystyle y=f(x)$이 접하는 순간의 접점의 좌표를 $\displaystyle \left(t,\frac{1}{t^{2}-4}\right)$라고 두고, 제시문 (가)를 이용하면 $\displaystyle -2t^{2}-11t=t^{2}-4$, 즉 $\displaystyle 3t^{2}+11t-4=0$을 얻는다. 따라서 $\displaystyle t=\frac{1}{3}$ 또는 $\displaystyle t=-4$이다.

그러면 $\displaystyle t=\frac{1}{3}$일 때 $\displaystyle m=-\frac{54}{1225}$이고, $\displaystyle t=-4$일 때 $\displaystyle m=\frac{1}{18}$이다. 따라서 정답은 아래와 같다.① $\displaystyle m=0$일 때, 교점의 개수는 0개② $\displaystyle -\frac{54}{1225}<m<\frac{1}{18}$ 이고 $\displaystyle m\ne0$일 때, 교점의 개수는 1개③ $\displaystyle m=-\frac{54}{1225}$ 혹은 $\displaystyle m=\frac{1}{18}$일 때, 교점의 개수는 2개④ $\displaystyle m<-\frac{54}{1225}$ 또는 $\displaystyle m>\frac{1}{18}$일 때, 교점의 개수는 3개

2-2.타원 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4k}+\frac{y^{2}}{k}=1$과 곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 교점이 4개인 경우는 두 곡선이 4개 중 2개의 교점에서 공통인 접선을 가질 때이다. 공통인 접선을 가지는 교점의 좌표를 $\displaystyle \left(t,\frac{1}{t^{2}-4}\right)$라고 두자. 음함수 미분법에 의하여 타원 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4k}+\frac{y^{2}}{k}=1$ 위의 점 $\displaystyle (x,y)$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle -\frac{x}{4y}$이다.

그러므로 제시문 (가)에 의하여 $\displaystyle (t^{2}-4)^{3}=8$, 즉, $\displaystyle t^{2}-4=2$를 얻는다. 따라서 $\displaystyle t=\pm\sqrt{6}$이다.

이 경우 $\displaystyle k=\frac{7}{4}$이다. 이 경우 타원 $\displaystyle x^{2}+4y^{2}=7$과 곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 접점 이외의 두 교점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle x=\pm\sqrt{3}$이다. 따라서 제시문 (나)에 의하여 주어진 영역의 넓이를 구하면 아래와 같다.

$\displaystyle \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\left(\frac{1}{x^{2}-4}+\frac{\sqrt{7-x^{2}}}{2}\right)dx=\ln(2-\sqrt{3})+A$