자연계열 2번

제시문 (나)에 의해 $\displaystyle f ( x )$의 도함수를 구하면$\displaystyle f^{\prime} ( x ) = - \frac{{1}}{x^{2}} - \frac{{1}}{2} \cdot \frac{{\frac{{- 2}}{x^{3}}}}{\sqrt{\frac{{1}}{x^{2}} - 1}} = \frac{{1}}{x^{2}} \left( \frac{{1}}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 1 \right) > 0$이다.제시문 (가)에 의해 $\displaystyle f^{\prime} ( x ) > 0$이므로 $\displaystyle f ( x )$는 증가함수이다. …②

그러므로 ①, ②에 의해 $\displaystyle 2-\sqrt3\le f(x)\le1$이다.

$\displaystyle y = f ( x )$의 역함수 $\displaystyle x = g ( y )$라 하고 구하면 $\displaystyle y = \frac{{1}}{x} - \sqrt{\frac{{1}}{x^{2}} - 1}$에서 $\displaystyle x = \frac{{2 y}}{y^{2} + 1}$.그러므로 $\displaystyle g ( y ) = \frac{{2 y}}{y^{2} + 1} ( 2 - \sqrt{3} < y \leq 1 )$이다.

2-2. 제시문 (다)의 치환적분을 사용하면$\displaystyle x = g ( y ) = f^{- 1} ( y )$에 대하여 $\displaystyle \int f ( x ) d x = \int f ( g ( y ) ) g^{\prime} ( y ) d y = \int y g^{\prime} ( y ) d y$이다.정적분의 치환적분법을 사용하기 위하여 적분구간을 구하면$\displaystyle f(1)=1,\quad f\left(\frac45\right)=\frac12$, 즉 $\displaystyle 1=g(1),\quad\frac45=g\left(\frac12\right)$이므로 $\displaystyle \left[\frac45,1\right]\Rightarrow\left[\frac12,1\right]$이 된다.$\displaystyle \int_{\frac45}^1 f(x)dx=\int_{\frac12}^1 yg^{\prime}(y)dy=\Biggl[yg(y)\Biggr]_{\frac12}^1-\int_{\frac12}^1g(y)dy=g(1)-\frac12g\left(\frac12\right)-\int_{\frac12}^1g(y)dy$ ………①이다.

논제 2-1에서 구한 역함수를 ①식에 대입하여 계산하면$\displaystyle \int_{\frac45}^1f(x)dx=1-\frac12\cdot\frac45-\int_{\frac12}^1\frac{2y}{y^2+1}dy=\frac35+\ln\frac58$이다.