자연계열 3번

부산대 2017학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/pusan/2017su/jayeon_3

【문항 $\displaystyle 3$ 】 다음 제시문을 이용하여 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

서로 다른 $\displaystyle n$ 개의 원소 중에서 순서를 생각하지 않고 $\displaystyle r$ 개를 택하는 것을 조합이라고 한다.특히, 서로 다른 $\displaystyle n$ 개의 원소에서 중복됨이 없이 $\displaystyle r$ 개를 택하는 조합의 수를 기호 $\displaystyle {}_{n} {\mathrm{C}} _ {r}$ 로 나타내고, $\displaystyle {}_n\mathrm C_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$ 이다. (단, $\displaystyle 0\le r\le n$ )

$\displaystyle n$ 명의 학생이 있는 어떤 학급에서 동아리 학생을 선발하려고 한다. 한 학생이 여러 동아리에 중복하여 선발될 수 있으며 학생을 선발하는 순서는 생각하지 않는다.(단, $\displaystyle n \geq 6$ )

3-1. 이 학급의 학생들 중에서 수학 동아리와 과학 동아리 학생을 각각 $\displaystyle 3$ 명씩 선발하려고 한다. 수학 동아리와 과학 동아리에 중복하여 선발되는 학생이 $\displaystyle 1$ 명만 되도록 동아리 학생을 선발하는 경우의 수를 구하시오. [ $\displaystyle 15$ 점]

3-2. 이 학급의 학생들 중에서 여행 동아리, 미술 동아리, 음악 동아리 학생을 각각 $\displaystyle 2$ 명씩 선발하려고 한다. 세 동아리에 선발된 학생 수의 총합이 $\displaystyle 4$ 명이 되도록 동아리 학생을 선발하는 경우의 수를 구하시오. [ $\displaystyle 20$ 점]

해설강의 준비중

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+5점 · 중복하여 선발될 학생 1명이란 조건을 이용하여 서술한 경우

3-1.수학 동아리 학생 $\displaystyle 3$ 명을 먼저 선택하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{n} {\mathrm{C}} _ {3}$ 이고, $\displaystyle 3$ 명의 학생 중 중복해서 선택된 한명을 고르고 남아있는 $\displaystyle ( n - 3 )$ 명의 학생 중에서 $\displaystyle 2$ 명을 선택하는 경우의 수는 $\displaystyle 3 \times {}_{n - 3} {\mathrm{C}} _ {2}$ 이다.

+10점 · 경우의 수를 바르게 구한 경우

따라서 구하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{n} {\mathrm{C}} _ {3} \times 3 \times {}_{n - 3} {\mathrm{C}} _ {2}$ (또는 $\displaystyle \frac{{n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 ) ( n - 3 )}}{4}$ ) 이다.

+5점 · 순열과(세 동아리) 조합(각 동아리에 구성원)과의 차이를 알고 서술한 경우

3-2. $\displaystyle n$ 명중에서 $\displaystyle 4$ 명을 선택하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{n} {\mathrm{C}} _ {4}$ 이다. $\displaystyle 4$ 명중에서 여행 동아리 학생 $\displaystyle 2$ 명을 선택하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{4} {\mathrm{C}} _ {2}$ 이다. 동아리 학생으로 선택한 $\displaystyle 4$ 명의 학생을 $\displaystyle \left\{ a , b , c , d \right\}$ 로 나타낸다고 하자. 그 중에서 $\displaystyle \left\{ a , b \right\}$ 가 여행 동아리 학생으로 선택된 경우 미술동아리와 음악동아리 학생을 선택하는 경우는 아래 표와 같이 $\displaystyle 19$ 가지의 경우이다.

+5점 · 각 경우에 따라 분류하여 경우의 수를 구한 경우

여행 동아리	미술동아리	음악동아리
$\displaystyle \left\{ a , b \right\}$	$\displaystyle \left\{ a , b \right\}$	$\displaystyle \left\{ c , d \right\}$
	$\displaystyle \left\{ a , c \right\}$	$\displaystyle \left\{ a , d \right\} , \left\{ b , d \right\} , \left\{ c , d \right\}$
	$\displaystyle \left\{ a , d \right\}$	$\displaystyle \left\{ a , c \right\} , \left\{ b , c \right\} , \left\{ c , d \right\}$
	$\displaystyle \left\{ b , c \right\}$	$\displaystyle \left\{ a , d \right\} , \left\{ b , d \right\} , \left\{ c , d \right\}$
	$\displaystyle \left\{ b , d \right\}$	$\displaystyle \left\{ a , c \right\} , \left\{ b , c \right\} , \left\{ c , d \right\}$
	$\displaystyle \left\{ c , d \right\}$	$\displaystyle \left\{ a , b \right\} , \left\{ a , c \right\} , \left\{ a , d \right\} , \left\{ b , c \right\} , \left\{ b , d \right\} , \left\{ c , d \right\}$

+10점 · 경우의 수를 바르게 구한 경우

그러므로 $\displaystyle {}_{n} {\mathrm{C}} _ {4} \times {}_{4} {\mathrm{C}} _ {2} \times 19$ (또는 $\displaystyle \frac{{19 n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 )}}{4}$ ) 이다.

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