자연계열 1번

[1-1]$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=5,\ \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}}=20$이므로제시문 (가)에서 $\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}}&=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}||\overrightarrow{\mathrm{OP}}|\cos\theta\\&=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}||\overrightarrow{\mathrm{OR}}|\end{aligned}$

그러므로 점 $\displaystyle {\mathrm{P}}$가 그리는 자취는 점 $\displaystyle {\mathrm{R}}$을 중심으로 하고 반지름이 $\displaystyle \overline{{\mathrm{PR}}}$인 원의 내부와 반지름이 $\displaystyle \overline{{\mathrm{QR}}}$인 원의 외부의 공통부분이다.

$\displaystyle \therefore \overline{{\mathrm{QR}}} = 2 - \sqrt{3} , \overline{{\mathrm{PR}}} = 2 + \sqrt{3}$따라서, $\displaystyle {\mathrm{S}} = \pi \left\{ ( 2 + \sqrt{3} )^{2} - ( 2 - \sqrt{3} )^{2} \right\} = 8 \sqrt{3} \pi$

[1-2]구하는 평면의 방정식은 점 $\displaystyle R$을 지나고 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}$를 법선벡터로 하는 평면의 방정식이다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{OR}}=4$이므로 점 $\displaystyle R$의 좌표는 $\displaystyle R\left(\frac85,\frac85\sqrt3,\frac{12}5\right)$이다.$\displaystyle \overrightarrow{{\mathrm{OA}}} = ( 2 , 2 \sqrt{3} , 3 )$이므로 제시문 (나)에 의하여 구하는 평면의 방정식은

$\displaystyle 2\left(x-\frac85\right)+2\sqrt3\left(y-\frac85\sqrt3\right)+3\left(z-\frac{12}5\right)=0$

$\displaystyle \therefore\ 2x+2\sqrt3y+3z=20$