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자연계열 1번

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부산대 2018학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/pusan/2018mo/jayeon_1

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문제

【문항 1\displaystyle 1】 다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) 영벡터가 아닌 두 공간벡터 a→,b→\displaystyle \overrightarrow{a} , \overrightarrow{b}가 이루는 각의 크기를 θ(0≤θ≤π)\displaystyle \theta ( 0 \leq \theta \leq \pi )라 할 때, 두 공간벡터의 내적은 a→⋅b→=∣a→∣∣b→∣cos⁡θ\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = | \overrightarrow{a} | | \overrightarrow{b} |{\cos} \theta이다.

(나) 점 A(x1,y1,z1)\displaystyle {\mathrm{A}} \left( x_{1} , y_{1} , z_{1} \right)를 지나고, 영벡터가 아닌 벡터 n→=(a,b,c)\displaystyle \overrightarrow{n} = ( a , b , c )에 수직인 평면의 방정식은a(x−x1)+b(y−y1)+c(z−z1)=0\displaystyle a \left( x - x_{1} \right) + b \left( y - y_{1} \right) + c \left( z - z_{1} \right) = 0

직선 l:x−22=y−2323=z−33\displaystyle l : \frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 2 \sqrt{3}}}{2 \sqrt{3}} = \frac{{z - 3}}{3}위의 점 A(2,23,3)\displaystyle {\mathrm{A}} ( 2 , 2 \sqrt{3} , 3 )에서 직선 l\displaystyle l에 접하고 반지름이 2\displaystyle 2인 구들을 생각하자. 원점을 O\displaystyle {\mathrm{O}}라 하고 이러한 구위의 점들 중 OA→⋅OP→=20\displaystyle \overrightarrow{{\mathrm{OA}}} \cdot \overrightarrow{{\mathrm{OP}}} = 20를 만족하는 점을 P\displaystyle {\mathrm{P}}라고 하자.

1-1. 위 조건을 만족하는 점 P\displaystyle {\mathrm{P}}가 나타내는 영역의 넓이를 구하시오. (15\displaystyle 15점)

1-2. 점 P\displaystyle {\mathrm{P}}가 나타내는 영역을 포함하는 평면의 방정식을 구하시오. (15\displaystyle 15점)

해설강의 준비중

부산대 2018학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/pusan/2018mo/jayeon_1

+5점 · OA→⋅OP→=∣OA→∣∣OR→∣\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}}=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}||\overrightarrow{\mathrm{OR}}|임을 설명할 수 있다.

[1-1]∣OA→∣=5, OA→⋅OP→=20\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=5,\ \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}}=20이므로제시문 (가)에서 OA→⋅OP→=∣OA→∣∣OP→∣cos⁡θ=∣OA→∣∣OR→∣\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}}&=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}||\overrightarrow{\mathrm{OP}}|\cos\theta\\&=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}||\overrightarrow{\mathrm{OR}}|\end{aligned}

직선 OA에 접하는 구의 단면과 점 P, Q, R, H, C

그림에서 ∣OA→∣∣OR→∣=20\displaystyle | \overrightarrow{{\mathrm{OA}}} | | \overrightarrow{{\mathrm{OR}}} | = 20따라서 ∣OR→∣=4\displaystyle | \overrightarrow{{\mathrm{OR}}} | = 4이다.

+5점 · 점 P가 나타내는 도형을 설명할 수 있다.

그러므로 점 P\displaystyle {\mathrm{P}}가 그리는 자취는 점 R\displaystyle {\mathrm{R}}을 중심으로 하고 반지름이 PR‾\displaystyle \overline{{\mathrm{PR}}}인 원의 내부와 반지름이 QR‾\displaystyle \overline{{\mathrm{QR}}}인 원의 외부의 공통부분이다.

점 R을 중심으로 두 동심원 사이에 놓이는 점 P의 자취
+5점 · 도형의 넓이를 구할 수 있다.

∴QR‾=2−3,PR‾=2+3\displaystyle \therefore \overline{{\mathrm{QR}}} = 2 - \sqrt{3} , \overline{{\mathrm{PR}}} = 2 + \sqrt{3}따라서, S=π{(2+3)2−(2−3)2}=83π\displaystyle {\mathrm{S}} = \pi \left\{ ( 2 + \sqrt{3} )^{2} - ( 2 - \sqrt{3} )^{2} \right\} = 8 \sqrt{3} \pi

+5점 · 구하는 평면에 대하여 설명할 수 있다.

[1-2]구하는 평면의 방정식은 점 R\displaystyle R을 지나고 OA→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}를 법선벡터로 하는 평면의 방정식이다.

+5점 · 한 점과 법선벡터를 구할 수 있다.

OR‾=4\displaystyle \overline{\mathrm{OR}}=4이므로 점 R\displaystyle R의 좌표는 R(85,853,125)\displaystyle R\left(\frac85,\frac85\sqrt3,\frac{12}5\right)이다.OA→=(2,23,3)\displaystyle \overrightarrow{{\mathrm{OA}}} = ( 2 , 2 \sqrt{3} , 3 )이므로 제시문 (나)에 의하여 구하는 평면의 방정식은

+3점 · 평면의 방정식을 만들 수 있다.

2(x−85)+23(y−853)+3(z−125)=0\displaystyle 2\left(x-\frac85\right)+2\sqrt3\left(y-\frac85\sqrt3\right)+3\left(z-\frac{12}5\right)=0

+2점 · 평면의 방정식2x+23y+3z=20\displaystyle 2x+2\sqrt3y+3z=20을 구할 수 있다.

∴ 2x+23y+3z=20\displaystyle \therefore\ 2x+2\sqrt3y+3z=20

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