의학계 1번

[1-1](다)에 의해 길이가 $\displaystyle 1$인 단위벡터 $\displaystyle \overrightarrow{n} = ( n_{1} , n_{2} , n_{3} )$에 수직이고 구 위의 점 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( x_{0} , y_{0} , z_{0} )$를 지나는 평면의 방정식은 $\displaystyle n_{1} ( x - x_{0} ) + n_{2} ( y - y_{0} ) + n_{3} ( z - z_{0} ) = 0$이다.평면 위의 점 $\displaystyle ( x , y , z )$의 위치벡터를 $\displaystyle \overrightarrow{X}$, 점 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( x_{0} , y_{0} , z_{0} )$의 위치벡터를 $\displaystyle \overrightarrow{P}$라 하면 평면의 방정식은 $\displaystyle \overrightarrow{n} \cdot ( \overrightarrow{X} - \overrightarrow{P} ) = 0$로 쓸 수 있다.평면과 구가 점 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( x_{0} , y_{0} , z_{0} )$에서 접하므로, 원점 $\displaystyle \mathrm{O}$에서 평면 $\displaystyle \overrightarrow{n} \cdot ( \overrightarrow{X} - \overrightarrow{P} ) = 0$까지 거리는 $\displaystyle 1$임과 $\displaystyle | \overrightarrow{n} | = 1$임을 알고, (라)를 적용하면 $\displaystyle | \overrightarrow{n} \cdot ( - \overrightarrow{P} ) | = 1$이고, (가)에 의해 $\displaystyle | \overrightarrow{n} | | \overrightarrow{P} | \cos \theta = \pm 1$이고 $\displaystyle | \overrightarrow{n} | = 1$, $\displaystyle | \overrightarrow{P} | = 1$이므로 $\displaystyle \cos \theta = \pm 1$를 얻을 수 있다.

그러므로 $\displaystyle \overrightarrow{n} = \pm \overrightarrow{P}$이고 구하고자 하는 평면의 방정식은 $\displaystyle \overrightarrow{P} \cdot ( \overrightarrow{X} - \overrightarrow{P} ) = 0$ 또는 $\displaystyle x_{0} x + y_{0} y + z_{0} z - 1 = 0$이다.

[1-2]평행이동에 의해 문제에서 주어진 구와 평면을 반지름이 $\displaystyle 2$이고 중심이 원점인 구 $\displaystyle S_{1}$와 $\displaystyle ( 0 , 0 , 3 )$을 지나고 $\displaystyle S_{1}$과의 교선의 길이가 $\displaystyle 2 \sqrt{3} \pi$인 평면 $\displaystyle P_{1}$으로 가정할 수 있다.평면 $\displaystyle P_{1}$은 원점으로부터 거리가 $\displaystyle 1$인 평면이므로 원점이 중심이고 반지름이 $\displaystyle 1$인 구 $\displaystyle S_{2}$와 접하는 것을 알 수 있다.

구 $\displaystyle S_{2}$ 위의 점 $\displaystyle ( x , y , z )$에서 접평면에 수직인 벡터는 $\displaystyle ( x , y , z )$이므로 다음이 성립한다.$\displaystyle \begin{cases}( x , y , z ) \cdot ( x , y , z - 3 ) = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1\end{cases}$위의 연립방정식을 풀면 $\displaystyle z = \frac{1}{3}$을 얻고 접평면에 수직인 벡터는 매개변수 $\displaystyle t$를 이용하여$\displaystyle ( x , y , z ) = \left( \frac{{2 \sqrt{2}}}{3} \cos t , \frac{{2 \sqrt{2}}}{3} \sin t , \frac{1}{3} \right)$로 쓸 수 있다. 이면각의 크기가 $\displaystyle 60 ^\circ$이므로 이면각의 면을 포함하는 두 평면의 수직인 벡터 사이의 각은 $\displaystyle 60 ^\circ$와 $\displaystyle 120 ^\circ$이므로$\displaystyle ( x , y , z ) \cdot ( 0 , 1 , 0 ) = \frac{{2 \sqrt{2}}}{3} \sin t = \pm \frac{1}{2}$이고 $\displaystyle \sin t = \pm \frac{3}{4 \sqrt{2}}$, $\displaystyle \cos t = \pm \frac{\sqrt{23}}{4 \sqrt{2}}$를 얻을 수 있다.

그러므로 접평면에 수직인 네 개의 벡터는 $\displaystyle ( x , y , z ) = \left( \pm \frac{\sqrt{23}}{6} , \pm \frac{1}{2} , \frac{1}{3} \right)$이고 접평면의 방정식은 $\displaystyle \pm \frac{\sqrt{23}}{6} x \pm \frac{1}{2} y + \frac{1}{3} ( z - 3 ) = 0$이다. $\displaystyle z$축으로 $\displaystyle 3$만큼 평행이동하면 $\displaystyle \pm \frac{\sqrt{23}}{6} x \pm \frac{1}{2} y + \frac{1}{3} z = 0$(복호동순 아님)이다.