의학계 2번

[2-1]$\displaystyle f(x)=\ln(x^2+1)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{2x}{x^2+1}$이고, 함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 구간 $\displaystyle [-2,2]$에서 연속이므로 제시문 (나)에 의해 최댓값과 최솟값을 가진다.

$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=\frac{2(x^2+1)-2x(2x)}{(x^2+1)^2}=\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}=0$에서 $\displaystyle x=\pm1$이므로 함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 $\displaystyle x=\pm1$에서 극값을 가진다. 함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 증가와 감소를 나타내는 표와 곡선 $\displaystyle y=f^{\prime}(x)$의 그래프는 아래와 같다.

[2-2]$\displaystyle g_{1} ( x ) = f^{\prime} ( 1 ) ( x - 1 ) + f ( 1 ) = x - 1 + \ln 2$, $\displaystyle g_{-1} ( x ) = f^{\prime} ( -1 ) ( x + 1 ) + f ( - 1 ) = - x - 1 + \ln 2$이다.

먼저 직선 $\displaystyle y = g_{1} ( x )$는 점 $\displaystyle ( 1 , \ln 2 )$에서 곡선 $\displaystyle y = f ( x )$의 접선이고, $\displaystyle p ( x ) = f ( x ) - g_{1} ( x )$라 하면 $\displaystyle p^{\prime} ( x ) = f^{\prime} ( x ) - g_{1}^{\prime} ( x ) = \frac{2x}{x^2+1}-1=-\frac{(x-1)^2}{x^2+1}$에서 $\displaystyle p ( x )$는 미분가능하고 $\displaystyle x \ne 1$일 때 $\displaystyle p^{\prime} ( x ) < 0$이므로 제시문 (다)에 의해 함수 $\displaystyle p ( x )$는 감소한다. 따라서 방정식 $\displaystyle f ( x ) - g_{1} ( x ) = 0$는 오직 하나의 실근$\displaystyle ( x = 1 )$을 가진다.

마찬가지로 직선 $\displaystyle y = g_{-1} ( x )$는 점 $\displaystyle ( - 1 , \ln 2 )$에서 곡선 $\displaystyle y = f ( x )$의 접선이고, $\displaystyle q ( x ) = f ( x ) - g_{-1} ( x )$라 하면 $\displaystyle q^{\prime} ( x ) = f^{\prime} ( x ) - g_{-1}^{\prime} ( x ) = \frac{{2 x}}{x^{2} + 1} + 1 = \frac{{( x + 1 )^{2}}}{x^{2} + 1}$에서 $\displaystyle q ( x )$는 미분가능하고 $\displaystyle x \ne - 1$일 때 $\displaystyle q^{\prime} ( x ) > 0$이므로 제시문 (다)에 의해 함수 $\displaystyle q ( x )$는 증가한다. 따라서 방정식 $\displaystyle f ( x ) - g_{-1} ( x ) = 0$는 오직 하나의 실근$\displaystyle ( x = - 1 )$을 가진다.

따라서 곡선 $\displaystyle y = f ( x )$와 두 직선 $\displaystyle y = g_{1} ( x )$, $\displaystyle y = g_{-1} ( x )$로 둘러싸인 도형의 넓이 $\displaystyle S$는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}S&=\int_{-1}^0 f(x)-g_{-1}(x)dx+\int_0^1f(x)-g_1(x)dx\\&=2\int_0^1f(x)-g_1(x)dx\\&=2\int_0^1f(x)dx-2\int_0^1g_1(x)dx\end{aligned}$

한편$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1f(x)dx&=\int_0^1\ln(x^2+1)dx=\int_0^1(x)^{\prime}\ln(x^2+1)dx=\Biggl[x\ln(x^2+1)\Biggr]_0^1-\int_0^1\frac{2x^2}{x^2+1}dx\\&=\ln2-\int_0^1\frac{2x^2}{x^2+1}dx\end{aligned}$

여기서 $\displaystyle x = \tan \theta$라 치환하면 $\displaystyle d x = \sec^{2} \theta d \theta$이므로$\displaystyle \begin{aligned}&=\ln2-\int_0^{\frac\pi4}\frac{2\tan^2\theta}{\tan^2\theta+1}\times\sec^2\theta d\theta=\ln2-2\int_0^{\frac\pi4}\tan^2\theta d\theta\\&=\ln2-2\int_0^{\frac\pi4}\sec^2\theta-1\,d\theta=\ln2-2\Biggl[\tan\theta-\theta\Biggr]_0^{\frac\pi4}=\ln2-2+\frac\pi2\end{aligned}$이고,

$\displaystyle \int_{0}^{1} g_{1} ( x ) d x = \int_{0}^{1} ( x - 1 + \ln 2 ) d x = \Biggl[ \frac{1}{2} x^{2} - x + x \ln 2 \Biggr]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - 1 + \ln 2 = \ln 2 - \frac{1}{2}$이다. 그러므로

$\displaystyle S = 2 \left( \ln 2 - 2 + \frac{\pi}{2} \right) - 2 \left( \ln 2 - \frac{1}{2} \right) = \pi - 3$이다.

[2-3]함수 $\displaystyle k ( x ) = f ( x ) - g_{t} ( x ) = f ( x ) - f^{\prime} ( t ) ( x - t ) - f ( t )$라 하자.$\displaystyle \begin{aligned}k^{\prime}(x)&=f^{\prime}(x)-g_t^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-f^{\prime}(t)=\frac{2x}{x^2+1}-\frac{2t}{t^2+1}\\&=\frac{2x(t^2+1)-2t(x^2+1)}{(x^2+1)(t^2+1)}=\frac{-2tx^2+2(t^2+1)x-2t^2}{(x^2+1)(t^2+1)}=\frac{-2(x-t)(tx-1)}{(x^2+1)(t^2+1)}=0\end{aligned}$에서 $\displaystyle x=t$ 또는 $\displaystyle x=\frac1t$이다.한편, $\displaystyle k^{\prime \prime} ( x ) = f^{\prime \prime} ( x ) = \frac{{2 - 2 x^{2}}}{( x^{2} + 1 )^{2}}$이고, 다음 두 가지 경우로 나누어 극솟값을 구해보자.

1) $\displaystyle | t | < 1$일 때제시문 (나)와 (다)에 의해 $\displaystyle k^{\prime} ( t ) = 0$, $\displaystyle k^{\prime \prime} ( t ) = \frac{{2 - 2 t^{2}}}{( t^{2} + 1 )^{2}} > 0$이므로 $\displaystyle x = t$일 때 극솟값을 가지고, $\displaystyle k^{\prime} \left( \frac{1}{t} \right) = 0$, $\displaystyle k^{\prime \prime} \left( \frac{1}{t} \right) = \frac{{2 - \frac{2}{t^{2}}}}{\left( \frac{1}{t^{2}} + 1 \right)^{2}} < 0$이므로 $\displaystyle x = \frac{1}{t}$일 때 극댓값을 가진다. 따라서 $\displaystyle h ( t ) = k ( t ) = 0$이다.

2) $\displaystyle | t | > 1$일 때제시문 (나)와 (다)에 의해 $\displaystyle k^{\prime} ( t ) = 0$, $\displaystyle k^{\prime \prime} ( t ) = \frac{{2 - 2 t^{2}}}{( t^{2} + 1 )^{2}} < 0$이므로 $\displaystyle x = t$일 때 극댓값을 가지고, $\displaystyle k^{\prime} \left( \frac{1}{t} \right) = 0$, $\displaystyle k^{\prime \prime} \left( \frac{1}{t} \right) = \frac{{2 - \frac{2}{t^{2}}}}{\left( \frac{1}{t^{2}} + 1 \right)^{2}} > 0$이므로 $\displaystyle x = \frac{1}{t}$일 때 극솟값을 가진다. 따라서$\displaystyle h ( t ) = k \left( \frac{1}{t} \right) = \ln \left( \frac{1}{t^{2}} + 1 \right) - \frac{{\frac{2}{t}}}{\frac{1}{t^{2}} + 1} \left( \frac{1}{t} - t \right) - \ln ( t^{2} + 1 )= \ln \left( \frac{1}{t^{2}} \right) + \frac{{2 ( t^{2} - 1 )}}{t^{2} + 1}$이다.

1), 2)에 의해$\displaystyle h ( t ) = \begin{cases}0 & & ( | t | < 1 ) \\ \ln \left( \frac{1}{t^{2}} \right) + \frac{{2 ( t^{2} - 1 )}}{t^{2} + 1} & & ( | t | > 1 )\end{cases}$이다.