의학계 3번

[3-1]한 조각에서 $\displaystyle 4$가지 중 한 종류의 영문자가 $\displaystyle 3$개 이상 나올 확률은 제시문 (라)에 의해서$\displaystyle p_1=4\left[{}_{5}\mathrm{C}_3\left(\frac14\right)^3\left(\frac34\right)^2+{}_{5}\mathrm{C}_4\left(\frac14\right)^4\left(\frac34\right)^1+{}_{5}\mathrm{C}_5\left(\frac14\right)^5\left(\frac34\right)^0\right]=\frac{53}{128}$

$\displaystyle p_{1}$을 성공의 확률이라고 할 때 총 $\displaystyle n$개의 조각 중에서 단 한 번의 성공도 일어나지 않을 확률은 제시문 (라)에 의해서$\displaystyle P={}_{n}\mathrm{C}_0\left(\frac{53}{128}\right)^0\left(1-\frac{53}{128}\right)^n=\left(\frac{75}{128}\right)^n$

한 조각에서 $\displaystyle 4$ 가지 중 한 종류의 영문자가 연속해서 $\displaystyle 3$개 이상 나올 확률은$\displaystyle p_{2} = 4 \left[ 3 \left( \frac{1}{4} \right)^{3} \left( \frac{3}{4} \right)^{2} + 2 \left( \frac{1}{4} \right)^{4} \left( \frac{3}{4} \right)^{1} + \left( \frac{1}{4} \right)^{5} \right] = \frac{17}{128}$

$\displaystyle p_{2}$을 성공의 확률이라고 할 때 총 $\displaystyle n$개의 조각 중에서 적어도 한 개 이상의 성공이 일어날 확률은 제시문 (라)에 의해서$\displaystyle Q=1-{}_{n}\mathrm{C}_0\left(\frac{17}{128}\right)^0\left(1-\frac{17}{128}\right)^n=1-\left(\frac{111}{128}\right)^n$그러므로$\displaystyle P + Q = 1 - \left( \frac{111}{128} \right)^{n} + \left( \frac{75}{128} \right)^{n}$

[3-2]총 $\displaystyle n$개의 조각에서 모든 연결된 두 개의 조각은 연속된 $\displaystyle 4$개의 동일한 영문자를 가지고 있다. 첫 번째 조각의 첫 $\displaystyle 3$개의 영문자를 나열하는 경우의 수는 $\displaystyle 3$개의 영문자를 중복순열한 후 $\displaystyle 3$개의 영문자가 모두 동일한 경우를 제외시키는 것이므로 제시문 (다)에 의해서$\displaystyle {}_{3}\Pi_3-3=24=2^3\cdot3$

두 번째 조각은 $\displaystyle 4$개의 영문자 중에서 $\displaystyle 3$개의 영문자를 선택하여 나열하는 것이므로 제시문 (가)와 (나)에 의해서$\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_3\cdot{}_{3}\mathrm{P}_3=2^3\cdot3$

세 번째 조각부터 $\displaystyle n - 1$번째 조각의 경우 각 조각마다 $\displaystyle 3$개의 영문자 중 $\displaystyle 2$개를 선택해서 나열하는 것이므로 제시문 (가)와 (나)에 의해서$\displaystyle ({}_{3}\mathrm{C}_2\cdot{}_{2}\mathrm{P}_2)^{n-3}=2^{n-3}\cdot3^{n-3}$

마지막 $\displaystyle n$번째 조각의 마지막 $\displaystyle 3$개의 영문자를 나열하는 경우 또한 첫 번째 조각과 동일하므로$\displaystyle {}_{3}\Pi_3-3=24=2^3\cdot3$

위에 언급한 모든 경우의 수를 곱하게 되면 총 경우의 수는$\displaystyle 2^{n+6}\cdot3^n$즉, $\displaystyle p = n + 6$이고 $\displaystyle q = n$이다.