수리논술, 이게 다다.

의학계 3번

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부산대 2018학년도 모의 의학계 3번 · mathesis.kr/archive/pusan/2018mo/uihak_3

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문제

【문항 3】 다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) 서로 다른 n\displaystyle n개에서 r\displaystyle r개를 택하는 순열의 수는nPr=n(n−1)(n−2)⋯(n−r+1)\displaystyle {}_{n}\mathrm{P}_r=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1) (단, 0≤r≤n\displaystyle 0\le r\le n)

(나) 서로 다른 n\displaystyle n개에서 r\displaystyle r개를 택하는 조합의 수는nCr=n!r!(n−r)!\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_r=\frac{n!}{r!(n-r)!} (단, 0≤r≤n\displaystyle 0\le r\le n)

(다) 서로 다른 n\displaystyle n개에서 r\displaystyle r개를 택하는 중복순열의 수는nΠr=nr\displaystyle {}_{n}\Pi_r=n^r

(라) 확률변수 X\displaystyle X가 이항분포 B(n,p)\displaystyle {\mathrm{B}} ( n , p )를 따를 때, 확률분포는P(X=r)=nCrpr(1−p)n−r\displaystyle P(X=r)={}_{n}\mathrm{C}_rp^r(1-p)^{n-r} (단, r=0,1,…,n\displaystyle r=0,1,\ldots,n)

4\displaystyle 4종류의 영문자 A,B,C,D\displaystyle A , B , C , D가 무작위로 반복되어 일렬로 나열되어 있다. 이때 4\displaystyle 4개의 영문자는 동일한 확률로 나타난다고 가정하자. 여기서 5\displaystyle 5개의 영문자로 구성된 하나의 조각을 총 n\displaystyle n개를 뽑아서 다시 일렬로 배열하였다. 즉, 총 나열된 영문자의 수는 5n\displaystyle 5 n개이다. (단, n\displaystyle n은 큰 자연수이다.)

(예)

다섯 영문자로 이루어진 n개 조각의 배열 예시

3-1. 총 n\displaystyle n개의 조각에서 하나의 조각 안에 동일한 영문자가 3\displaystyle 3개 이상 나타나는 조각의 수가 단 한 개도 없을 확률을 P\displaystyle P라고 하자. 그리고 동일한 영문자가 연속해서 3\displaystyle 3개 이상 나타나는 조각의 수가 적어도 한 개 이상일 확률을 Q\displaystyle Q라고 하자. P+Q\displaystyle P + Q의 값을 n\displaystyle n을 사용한 식으로 표현하시오. (15점)

3-2. 각 조각마다 동일한 영문자가 3\displaystyle 3개 이상 나타나지 않았다고 가정하자. 총 5n\displaystyle 5 n개의 영문자가 나열되었을 때 두 개의 연속된 조각에서 동일한 영문자가 연속해서 4\displaystyle 4개가 나타날 수는 있다. 예를 들면 첫 번째 조각의 마지막 두 개의 영문자가 ‘AA\displaystyle AA’이고 두 번째 조각의 첫 번째 두 개의 영문자 ‘AA\displaystyle AA’일 경우 ‘AAAA\displaystyle AAAA’가 나타난다. 이처럼 연속된 4\displaystyle 4개의 동일한 영문자가 정확하게 n−1\displaystyle n - 1회 나타날 경우의 수는 2p3q\displaystyle 2^{p} 3^{q}이다. p\displaystyle p와 q\displaystyle q를 각각 n\displaystyle n을 사용한 식으로 표현하시오. (20점)

해설강의 준비중

부산대 2018학년도 모의 의학계 3번 · mathesis.kr/archive/pusan/2018mo/uihak_3

+5점 · 한 조각에서 한 종류의 영문자가 3개 이상 나올 확률을 구할 수 있다.

[3-1]한 조각에서 4\displaystyle 4가지 중 한 종류의 영문자가 3\displaystyle 3개 이상 나올 확률은 제시문 (라)에 의해서p1=4[5C3(14)3(34)2+5C4(14)4(34)1+5C5(14)5(34)0]=53128\displaystyle p_1=4\left[{}_{5}\mathrm{C}_3\left(\frac14\right)^3\left(\frac34\right)^2+{}_{5}\mathrm{C}_4\left(\frac14\right)^4\left(\frac34\right)^1+{}_{5}\mathrm{C}_5\left(\frac14\right)^5\left(\frac34\right)^0\right]=\frac{53}{128}

+5점 · 한 조각에서 한 종류의 영문자가 연속해서 3개 이상 나올 확률을 구할 수 있다.
+5점 · 성공의 확률을 구한 후 이항분포를 이용하여 확률 값을 구할 수 있다.

p1\displaystyle p_{1}을 성공의 확률이라고 할 때 총 n\displaystyle n개의 조각 중에서 단 한 번의 성공도 일어나지 않을 확률은 제시문 (라)에 의해서P=nC0(53128)0(1−53128)n=(75128)n\displaystyle P={}_{n}\mathrm{C}_0\left(\frac{53}{128}\right)^0\left(1-\frac{53}{128}\right)^n=\left(\frac{75}{128}\right)^n

한 조각에서 4\displaystyle 4 가지 중 한 종류의 영문자가 연속해서 3\displaystyle 3개 이상 나올 확률은p2=4[3(14)3(34)2+2(14)4(34)1+(14)5]=17128\displaystyle p_{2} = 4 \left[ 3 \left( \frac{1}{4} \right)^{3} \left( \frac{3}{4} \right)^{2} + 2 \left( \frac{1}{4} \right)^{4} \left( \frac{3}{4} \right)^{1} + \left( \frac{1}{4} \right)^{5} \right] = \frac{17}{128}

p2\displaystyle p_{2}을 성공의 확률이라고 할 때 총 n\displaystyle n개의 조각 중에서 적어도 한 개 이상의 성공이 일어날 확률은 제시문 (라)에 의해서Q=1−nC0(17128)0(1−17128)n=1−(111128)n\displaystyle Q=1-{}_{n}\mathrm{C}_0\left(\frac{17}{128}\right)^0\left(1-\frac{17}{128}\right)^n=1-\left(\frac{111}{128}\right)^n그러므로P+Q=1−(111128)n+(75128)n\displaystyle P + Q = 1 - \left( \frac{111}{128} \right)^{n} + \left( \frac{75}{128} \right)^{n}

+5점 · 첫 번째와 마지막 조각에서 3개의 영문자를 나열하는 조합 및 중복순열을 구할 수 있다.
+5점 · 두 번째 조각에서 3개의 영문자를 나열하는 조합 및 순열을 구할 수 있다.
+5점 · 세 번째 조각부터 n-1번째 조각까지의 조합 및 순열을 구할 수 있다.

[3-2]총 n\displaystyle n개의 조각에서 모든 연결된 두 개의 조각은 연속된 4\displaystyle 4개의 동일한 영문자를 가지고 있다. 첫 번째 조각의 첫 3\displaystyle 3개의 영문자를 나열하는 경우의 수는 3\displaystyle 3개의 영문자를 중복순열한 후 3\displaystyle 3개의 영문자가 모두 동일한 경우를 제외시키는 것이므로 제시문 (다)에 의해서3Π3−3=24=23⋅3\displaystyle {}_{3}\Pi_3-3=24=2^3\cdot3

두 번째 조각은 4\displaystyle 4개의 영문자 중에서 3\displaystyle 3개의 영문자를 선택하여 나열하는 것이므로 제시문 (가)와 (나)에 의해서4C3⋅3P3=23⋅3\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_3\cdot{}_{3}\mathrm{P}_3=2^3\cdot3

세 번째 조각부터 n−1\displaystyle n - 1번째 조각의 경우 각 조각마다 3\displaystyle 3개의 영문자 중 2\displaystyle 2개를 선택해서 나열하는 것이므로 제시문 (가)와 (나)에 의해서(3C2⋅2P2)n−3=2n−3⋅3n−3\displaystyle ({}_{3}\mathrm{C}_2\cdot{}_{2}\mathrm{P}_2)^{n-3}=2^{n-3}\cdot3^{n-3}

마지막 n\displaystyle n번째 조각의 마지막 3\displaystyle 3개의 영문자를 나열하는 경우 또한 첫 번째 조각과 동일하므로3Π3−3=24=23⋅3\displaystyle {}_{3}\Pi_3-3=24=2^3\cdot3

+5점 · 네 종류의 조각에서 나오는 모든 경우의 수를 구할 수 있다.

위에 언급한 모든 경우의 수를 곱하게 되면 총 경우의 수는2n+6⋅3n\displaystyle 2^{n+6}\cdot3^n즉, p=n+6\displaystyle p = n + 6이고 q=n\displaystyle q = n이다.

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