자연계열 2번

부산대 2018학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/pusan/2018mo/jayeon_2

【문항 $\displaystyle 2$ 】 다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) 자연수 $\displaystyle n$ 에 대한 명제 $\displaystyle p ( n )$ 이 모든 자연수에 대하여 성립함을 증명하려면 다음 두 가지를 증명 하면 된다.(1) $\displaystyle n = 1$ 일 때, 명제 $\displaystyle p ( n )$ 이 성립한다.(2) $\displaystyle n = k$ 일 때, 명제 $\displaystyle p ( n )$ 이 성립한다고 가정하면 $\displaystyle n = k + 1$ 일 때도 명제 $\displaystyle p ( n )$ 이 성립한다.

(나) (1) $\displaystyle \lim_{x \to a} f ( x ) = f ( a )$ 일 때, 함수 $\displaystyle f ( x )$ 는 $\displaystyle x = a$ 에서 연속이다.(2) 함수 $\displaystyle f ( x )$ 가 어떤 구간에 속하는 모든 실수에 대하여 연속일 때, $\displaystyle f ( x )$ 를 그 구간에서 연속 또는 연속함수라고 한다.

(다) 함수 $\displaystyle f ( x )$ 가 닫힌 구간 $\displaystyle [ a , b ]$ 에서 연속일 때, $\displaystyle \frac{{d}}{d x} \int_{a}^{x} f ( t ) d t = f ( x )$ (단, $\displaystyle a \leq x \leq b$ )이다.

(라) 구간 $\displaystyle [ a , b ]$ 에서 연속인 함수 $\displaystyle f ( x )$ 에 대하여 미분가능한 함수 $\displaystyle x = g ( t )$ 의 도함수 $\displaystyle g^{\prime} ( t )$ 가 구간 $\displaystyle [ \alpha , \beta ]$ 에서 연속이고 $\displaystyle a = g ( \alpha ) , b = g ( \beta )$ 이면 $\displaystyle \int_{a}^{b} f ( x ) d x = \int_{\alpha}^{\beta} f ( g ( t ) ) g^{\prime} ( t ) d t$ 이다.

(마) 닫힌 구간 $\displaystyle [ a , b ]$ 에서 $\displaystyle x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $\displaystyle S ( x )$ 인 입체도형의 부피 $\displaystyle V$ 는 $\displaystyle V = \int_{a}^{b} S ( x ) d x$ (단, $\displaystyle S ( x )$ 는 구간 $\displaystyle [ a , b ]$ 에서 연속)이다.

2-1. 정의역이 $\displaystyle ( 0 , \infty )$ 인 함수 $\displaystyle f ( x )$ 가 $\displaystyle f \left( x^{2} \right) = \frac{{f ( x )}}{x}$ 를 만족시킨다. 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle f ( x ) = \frac{{f \left( x^{2^{- n}} \right)}}{x^{1 - 2^{- n}}}$ 이 성립함을 제시문 (가)를 이용하여 보이시오. ( $\displaystyle 15$ 점)

2-2. 논제 $\displaystyle 2 - 1$ 의 결과를 이용하여 정의역 $\displaystyle ( 0 , \infty )$ 에서 연속인 함수 $\displaystyle g ( x )$ 에 대하여 $\displaystyle g ( 1 ) = 1$ , $\displaystyle \int_{1}^{x^{2}} g ( t ) d t = \int_{x^{2}}^{x^{4}} g ( t ) d t$ 을 만족시키는 함수 $\displaystyle g ( x )$ 를 구하시오. ( $\displaystyle 10$ 점)

2-3. 논제 $\displaystyle 2 - 2$ 에서 구한 $\displaystyle g ( x )$ 와 두 직선 $\displaystyle x = \frac{{1}}{e} , x = 1$ 및 $\displaystyle x$ 축으로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체 도형이 있다. 이 입체도형을 $\displaystyle x$ 축 위의 $\displaystyle x = \frac{{1}}{t} ( 1 \leq t \leq e )$ 인 점을 지나고 $\displaystyle x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 밑변이 밑면에 있고 높이가 $\displaystyle {\ln} t$ 인 삼각형일 때, 이 입체도형의 부피를 구하시오. ( $\displaystyle 10$ 점)

해설강의 준비중

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+5점 ·

\displaystyle n=1

일 때 성립함을 보일 수 있다.

[2-1](i) $\displaystyle f(x^2)=\frac{f(x)}x$ 의 $\displaystyle x$ 에 $\displaystyle x^{\frac12}$ 을 대입하면 $\displaystyle f(x)=\frac{f(x^{\frac12})}{x^{\frac12}}\quad\cdots$ ① $\displaystyle \therefore f(x)=\frac{f(x^{2^{-1}})}{x^{1-2^{-1}}}$ 이므로 $\displaystyle n=1$ 일 때는 성립한다.

+3점 ·

\displaystyle n=k

일 때를 정확하게 가정할 수 있다.

(ii) $\displaystyle n=k$ 일 때, $\displaystyle f(x)=\frac{f(x^{2^{-n}})}{x^{1-2^{-n}}}$ 가 성립한다고 하자.

+5점 ·

\displaystyle n=k+1

일 때를

\displaystyle n=k

일 때 가정을 이용하여 보일 수 있다.

$\displaystyle x$ 에 $\displaystyle x^{\frac12}$ 을 대입하면 $\displaystyle f(x^{2^{-1}})=\frac{f((x^{2^{-1}})^{2^{-k}})}{(x^{2^{-1}})^{1-2^{-k}}}$ $\displaystyle \therefore f(x^{\frac12})=\frac{f(x^{2^{-(k+1)}})}{x^{2^{-1}-2^{-(k+1)}}}$ ①에서 $\displaystyle f(x^{\frac12})=x^{\frac12}f(x)$ 이므로 $\displaystyle x^{\frac12}f(x)=\frac{f(x^{2^{-(k+1)}})}{x^{\frac12-2^{-(k+1)}}}$ $\displaystyle \therefore f(x)=\frac{f(x^{2^{-(k+1)}})}{x^{\frac12-2^{-(k+1)}+\frac12}}=\frac{f(x^{2^{-(k+1)}})}{x^{1-2^{-(k+1)}}}$ 즉, $\displaystyle n=k+1$ 일 때도 성립한다.

+2점 · 모든 자연수

\displaystyle n

에 대하여 성립함을 이야기할 수 있다

(i), (ii)에서 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle f ( x ) = \frac{{f \left( x^{2^{- n}} \right)}}{x^{1 - 2^{- n}}}$ 이다.

+4점 · 주어진 조건을 미분을 이용하여

\displaystyle g(x^4)=\frac{g(x^2)}{x^2}

인 관계식을 구할 수 있다.

[2-2] $\displaystyle \int_1^{x^2}g(t)dt=\int_{x^2}^{x^4}g(t)dt$ 에서 제시문 [다]에 의해 $\displaystyle \frac d{dx}\int_1^{x^2}g(t)dt=\frac d{dx}\int_{x^2}^{x^4}g(t)dt$ 이고 $\displaystyle 2xg(x^2)=4x^3g(x^4)-2xg(x^2)$ 이다. $\displaystyle \therefore g(x^4)=\frac{g(x^2)}{x^2}\quad\cdots$ ①

+3점 · 2-1의 결과를 이용하여 모든 자연수

\displaystyle n

에 대하여

\displaystyle g(x)=\frac{g(x^{2^{-n}})}{x^{1-2^{-n}}}

임을 표현할 수 있다.

①의 $\displaystyle x$ 에 $\displaystyle x^{\frac12}$ 을 대입하면 논제 2-1의 조건을 만족하고 논제 2-1의 결과에 의해 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle g(x)=\frac{g(x^{2^{-n}})}{x^{1-2^{-n}}}$ 이 성립한다.

+3점 · 연속의 정의를 이용하여

\displaystyle g(x)

를 구할 수 있다

또한, $\displaystyle g ( x )$ 는 정의역 $\displaystyle ( 0 , \infty )$ 에서 연속인 함수이므로 제시문 (나)와 $\displaystyle g ( 1 ) = 1$ 에 의해 $\displaystyle \therefore g(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{g(x^{2^{-n}})}{x^{1-2^{-n}}}=\frac{g(1)}x=\frac1x$ 이다.

+3점 · 도형의 단면의 넓이를 정확하게 구할 수 있다.

[2-3] $\displaystyle x$ 축 위의 $\displaystyle x = \frac{{1}}{t} ( 1 \leq t \leq e )$ 인 점을 지나고 $\displaystyle x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 높이가 $\displaystyle {\ln} t$ 이고 밑변의 길이는 $\displaystyle t$ 인 직각 삼각형이다. 따라서 단면의 넓이는 $\displaystyle \frac{{1}}{2} \times t \times {\ln} t$ 이다.

+4점 · 부피를 적분에 관한 식으로 정확하게 표현할 수 있다.

그리고 $\displaystyle d x = - \frac{{1}}{t^{2}} d t$ 이므로 구하는 부피를 $\displaystyle V$ 라 하면 제시문 (라), (마)에 의해 $\displaystyle V=\frac12\int_e^1t\ln t\left(-\frac1{t^2}dt\right)=\frac12\int_1^e\frac{\ln t}t dt$ 이다. $\displaystyle \ln t=u$ 라 하면 $\displaystyle \frac1t dt=du$ 이므로

+3점 · 적분값을 정확하게 구할 수 있다

$\displaystyle V=\frac12\int_1^e\frac{\ln t}t dt=\frac12\int_0^1u\,du=\frac14$ 이다.

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