자연계열 2번

[2-1](i) $\displaystyle f(x^2)=\frac{f(x)}x$의 $\displaystyle x$에 $\displaystyle x^{\frac12}$을 대입하면$\displaystyle f(x)=\frac{f(x^{\frac12})}{x^{\frac12}}\quad\cdots$ ①$\displaystyle \therefore f(x)=\frac{f(x^{2^{-1}})}{x^{1-2^{-1}}}$이므로 $\displaystyle n=1$일 때는 성립한다.

(ii) $\displaystyle n=k$일 때, $\displaystyle f(x)=\frac{f(x^{2^{-n}})}{x^{1-2^{-n}}}$가 성립한다고 하자.

$\displaystyle x$에 $\displaystyle x^{\frac12}$을 대입하면 $\displaystyle f(x^{2^{-1}})=\frac{f((x^{2^{-1}})^{2^{-k}})}{(x^{2^{-1}})^{1-2^{-k}}}$$\displaystyle \therefore f(x^{\frac12})=\frac{f(x^{2^{-(k+1)}})}{x^{2^{-1}-2^{-(k+1)}}}$①에서 $\displaystyle f(x^{\frac12})=x^{\frac12}f(x)$이므로 $\displaystyle x^{\frac12}f(x)=\frac{f(x^{2^{-(k+1)}})}{x^{\frac12-2^{-(k+1)}}}$$\displaystyle \therefore f(x)=\frac{f(x^{2^{-(k+1)}})}{x^{\frac12-2^{-(k+1)}+\frac12}}=\frac{f(x^{2^{-(k+1)}})}{x^{1-2^{-(k+1)}}}$즉, $\displaystyle n=k+1$일 때도 성립한다.

(i), (ii)에서 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle f ( x ) = \frac{{f \left( x^{2^{- n}} \right)}}{x^{1 - 2^{- n}}}$이다.

[2-2]$\displaystyle \int_1^{x^2}g(t)dt=\int_{x^2}^{x^4}g(t)dt$에서 제시문 [다]에 의해$\displaystyle \frac d{dx}\int_1^{x^2}g(t)dt=\frac d{dx}\int_{x^2}^{x^4}g(t)dt$이고$\displaystyle 2xg(x^2)=4x^3g(x^4)-2xg(x^2)$이다.$\displaystyle \therefore g(x^4)=\frac{g(x^2)}{x^2}\quad\cdots$ ①

①의 $\displaystyle x$에 $\displaystyle x^{\frac12}$을 대입하면 논제 2-1의 조건을 만족하고 논제 2-1의 결과에 의해 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle g(x)=\frac{g(x^{2^{-n}})}{x^{1-2^{-n}}}$이 성립한다.

또한, $\displaystyle g ( x )$는 정의역 $\displaystyle ( 0 , \infty )$에서 연속인 함수이므로 제시문 (나)와 $\displaystyle g ( 1 ) = 1$에 의해$\displaystyle \therefore g(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{g(x^{2^{-n}})}{x^{1-2^{-n}}}=\frac{g(1)}x=\frac1x$이다.

[2-3]$\displaystyle x$축 위의 $\displaystyle x = \frac{{1}}{t} ( 1 \leq t \leq e )$인 점을 지나고 $\displaystyle x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 높이가 $\displaystyle {\ln} t$이고 밑변의 길이는 $\displaystyle t$인 직각 삼각형이다. 따라서 단면의 넓이는 $\displaystyle \frac{{1}}{2} \times t \times {\ln} t$이다.

그리고 $\displaystyle d x = - \frac{{1}}{t^{2}} d t$이므로 구하는 부피를 $\displaystyle V$라 하면 제시문 (라), (마)에 의해$\displaystyle V=\frac12\int_e^1t\ln t\left(-\frac1{t^2}dt\right)=\frac12\int_1^e\frac{\ln t}t dt$이다. $\displaystyle \ln t=u$라 하면 $\displaystyle \frac1t dt=du$이므로

$\displaystyle V=\frac12\int_1^e\frac{\ln t}t dt=\frac12\int_0^1u\,du=\frac14$이다.