자연계열 3번

부산대 2018학년도 모의 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/pusan/2018mo/jayeon_3

【문항 $\displaystyle 3$ 】 다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) 사건 $\displaystyle A$ 가 일어나는 경우의 수가 $\displaystyle m$ 이고, 그 각각에 대하여 사건 $\displaystyle B$ 가 일어나는 경우의 수가 $\displaystyle n$ 일 때, 두 사건 $\displaystyle A , B$ 가 동시에 일어나는 경우의 수는 $\displaystyle m \times n$ 이다.

(나) 서로 다른 것을 원형으로 배열하는 순열을 원순열이라고 하고, 서로 다른 $\displaystyle n$ 개를 원형으로 배열하는 원순열의 수는 $\displaystyle \frac{{n !}}{n} = ( n - 1 ) !$

(다) 두 사건 $\displaystyle A,B$ 에 대하여 사건 $\displaystyle A$ 가 일어났다는 조건하에서 사건 $\displaystyle B$ 가 일어날 확률을 사건 $\displaystyle A$ 가 일어났을 때의 사건 $\displaystyle B$ 의 조건부확률이라 하고, 기호로 $\displaystyle \mathrm{P}(B|A)$ 와 같이 나타내고, $\displaystyle \mathrm{P}(B|A)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(A)}$ 　(단, $\displaystyle \mathrm{P}(A)>0$ )

그림과 같이 넓이가 $\displaystyle 1$ 인 정사각형 모양의 타일이 있다. 이 타일의 이웃하는 변의 중점을 지름의 양 끝으로 하는 반원을 그릴 때, 네 반원의 교점을 $\displaystyle {\mathrm{O}}$ 라 하자. 각 변의 중점과 점 $\displaystyle {\mathrm{O}}$ 를 끝점으로 하는 두 개의 호 중에서 하나의 호를 각각 선택하면 다음과 같은 $\displaystyle 6$ 개의 서로 다른 무늬의 타일을 만들 수 있다. (회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 보고, 뒤집는 경우는 생각하지 않는다.)

3-1. 빨간색, 노란색, 파란색, 초록색의 네 가지 색을 이용하여 위에서 만든 각 타일의 네 개의 영역을 각각 다른 색으로 칠하려고 한다. 이와 같은 방법으로 만들 수 있는 서로 다른 타일의 종류는 몇 가지인지 구하여라. ( $\displaystyle 20$ 점)

3-2. 논제 $\displaystyle 3 - 1$ 에서 만든 타일 중 하나를 선택하였더니, $\displaystyle \frac{{1}}{4}$ 보다 큰 넓이를 차지하는 색이 존재하였다. 이 때 선택된 타일의 빨간색, 노란색 영역의 넓이가 서로 같을 확률을 구하여라. ( $\displaystyle 15$ 점)

해설강의 준비중

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[3-1]

의 경우는 네 영역이 모두 같은 역할을 한다. 따라서 제시문 (나)에 의해서 서로 다른 타일의 종류는 빨간색, 노란색, 파란색, 초록색을 원형으로 배열하는 원순열의 수와 같다. 즉, $\displaystyle (4-1)!=3!=6$ (가지)

의 경우는 네 영역이 모두 다른 역할을 한다. 따라서 서로 다른 타일의 종류는 빨간색, 노란색, 파란색, 초록색을 순서 있게 나열하는 경우의 수와 같다. 즉 $\displaystyle 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ (가지)

의 경우는 ①과 ③이, ②와 ④가 서로 같은 역할을 한다. 따라서 ①과 ②의 어느 하나의 타일에 빨간색을 칠한다고 생각하면 서로 다른 타일의 종류는 노란색, 파란색, 초록색을 순서 있게 나열하는 경우의 수와 같다. 즉, $\displaystyle 2 \times ( 3 \times 2 \times 1 ) = 12$ (가지)