자연계열 1번

점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서 준선 $\displaystyle x = - p$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{H}$라 하면 포물선의 정의에 의해서$\displaystyle \overline{\mathrm{PF}}=\overline{\mathrm{PH}}=x_1+p$

이다. 또한, 포물선 $\displaystyle y^2=4px$을 미분하면 $\displaystyle 2y\frac{dy}{dx}=4p$이므로 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2p}y$이 되어[제시문 (다)]에 의해서 포물선 $\displaystyle y^2=4px$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x_1,y_1)$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2p}{y_1}$이고[제시문 (가)]에 의해서 $\displaystyle \mathrm{P}(x_1,y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac{2p}{y_1}(x-x_1)+y_1$이다.

따라서 점 $\displaystyle \mathrm{P}^{\prime}$의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle - x_{1}$이므로$\displaystyle \overline{\mathrm{FP}^{\prime}} = x_{1} + p$이다. 그러므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm{FPP}^{\prime}$는 $\displaystyle \overline{\mathrm{FP}^{\prime}} = \overline{\mathrm{FP}}$인 이등변삼각형이다.

[1-2]점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 나타내는 도형은 [그림1]과 같이 점 $\displaystyle \mathrm{G}$와 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$로부터 같은 거리에 있는 점들의 모임(포물선)의 일부와 같다.

원 $\displaystyle C$의 모든 점이 삼각형의 변 또는 내부에 있기 위해서는 [그림2]와 같이 포물선이 각 중선과 만나는 두 점 사이를 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 움직여야 한다. 즉, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 나타내는 도형은 [그림3]과 같다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{GH}} = \frac{1}{3} \times \overline{\mathrm{AH}} = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 8 \sqrt{3} = 4$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{G}$를 $\displaystyle ( 0 , 2 )$, 점 $\displaystyle \mathrm{H}$를 $\displaystyle ( 0 , - 2 )$, 점 $\displaystyle \mathrm{C}$를 $\displaystyle ( 4 \sqrt{3} , - 2 )$라 두고 주어진 도형을 좌표평면 위에 그리면곡선 $\displaystyle C_{1}$은 초점이 $\displaystyle \mathrm{G} ( 0 , 2 )$이고, 준선이 $\displaystyle y = - 2$인 포물선이 되어곡선 $\displaystyle C_{1}$의 방정식은 $\displaystyle x^{2} = 8 y$ 즉, $\displaystyle y = \frac{1}{8} x^{2}$이 된다.(※)의 넓이는 곡선 $\displaystyle y = \frac{1}{8} x^{2}$, $\displaystyle x = 0$, $\displaystyle y = - \frac{1}{\sqrt{3}} x + 2 ( x \ge 0 )$로 둘러싸인 도형의 넓이와 같다.

두 곡선 $\displaystyle y = \frac{1}{8} x^{2} , y = - \frac{1}{\sqrt{3}} x + 2 ( x \ge 0 )$는 점 $\displaystyle \left( \frac{{4 \sqrt{3}}}{3} , \frac{2}{3} \right)$에서 만나므로(※)의 넓이$\displaystyle = \int_{0}^{\frac{{4 \sqrt{3}}}{3}} \left( - \frac{1}{\sqrt{3}} x + 2 - \frac{1}{8} x^{2} \right) d x= \frac{{40 \sqrt{3}}}{27}$

따라서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 나타내는 도형의 넓이는 $\displaystyle 6 \times \frac{{40 \sqrt{3}}}{27} = \frac{{80 \sqrt{3}}}{9}$이다.

문제 [1-1]의 삼각형 $\displaystyle \mathrm{FPP}^{\prime}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{FP}^{\prime}} = \overline{\mathrm{FP}}$이므로 $\displaystyle \angle \mathrm{FP}^{\prime} \mathrm{P} = \angle \mathrm{FPP}^{\prime}$이다.또한, $\displaystyle \overline{\mathrm{PH}}\parallel \overline{\mathrm{FP}^{\prime}}$이므로 $\displaystyle \angle \mathrm{FP}^{\prime} \mathrm{P} = \angle \mathrm{HPP}^{\prime}$ (엇각)이다.그러므로 $\displaystyle \angle \mathrm{HPP}^{\prime} = \angle \mathrm{FPP}^{\prime}$이다. 즉, 포물선 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서의 접선은 $\displaystyle \angle \mathrm{FPH}$를 이등분한다.

1) 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 나타내는 도형과 직선 $\displaystyle l$의 접점을 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}$이라 하면 $\displaystyle \angle \mathrm{GP}_{1} \mathrm{B} = \angle \mathrm{HP}_{1} \mathrm{B}$2) 포물선의 정의에 의해서 $\displaystyle \overline{\mathrm{GP}_{1}} = \overline{\mathrm{HP}_{1}}$3) $\displaystyle \overline{\mathrm{BP}_{1}}$은 공통이므로 두 삼각형 $\displaystyle \mathrm{P}_{1} \mathrm{GB}$, $\displaystyle \mathrm{P}_{1} \mathrm{HB}$는 합동이다.따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}$의 중점 $\displaystyle \mathrm{M}$에 대하여 직선 $\displaystyle l$은 $\displaystyle \angle \mathrm{MBC}$의 이등분선이므로

$\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = 8 \sqrt{3} , \overline{\mathrm{BM}} = 12$에 대하여$\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} : \overline{\mathrm{BM}} = 8 \sqrt{3} : 12 = \overline{\mathrm{CQ}} : \overline{\mathrm{QM}}$이 성립한다, 즉 $\displaystyle \overline{\mathrm{QM}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \overline{\mathrm{CQ}}$,

그러므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{CM}} = 4 \sqrt{3} = \overline{\mathrm{CQ}} + \overline{\mathrm{QM}}$에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{CQ}} = \overline{\mathrm{CM}} \times \frac{1}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}} = 16 \sqrt{3} - 24$이다.