부산대 2019학년도 모의 의학계 2번 해설

【문항 2】다음 제시문을 근거로 하여 아래 논제에 답하시오.

(가) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 구간 $\displaystyle [a,\ b]$ 에서 연속이고, $\displaystyle f(x)\ge0$ 이면 정적분 $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx$ 는 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 $\displaystyle x$ 축 및 두 직선 $\displaystyle x=a$ , $\displaystyle x=b$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 나타낸다.

(나) $\displaystyle a_n\le b_n\le c_n$ 를 만족하는 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ , $\displaystyle \{b_n\}$ , $\displaystyle \{c_n\}$ 에 대하여, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=L$ 이면, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=L$ 이 성립한다. (단, $\displaystyle n$ 은 자연수, $\displaystyle L$ 은 상수)

(다) $\displaystyle y=g(x)$ 가 구간 $\displaystyle [a,\ b]$ 에서 증가함수이면 다음의 명제는 참인 명제이다. $\displaystyle a\le c<d\le b$ 이면 $\displaystyle g(c)<g(d)$ 이다.역으로 $\displaystyle \alpha,\ \beta\in[a,\ b]$ 인 $\displaystyle \alpha,\beta$ 에 대하여 $\displaystyle g(a)\le g(\alpha)<g(\beta)\le g(b)$ 이면 $\displaystyle a\le\alpha<\beta\le b$ 이다.

함수 $\displaystyle f(x)=x^n$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (t,\ 0)$ , $\displaystyle (t,\ f(t))$ , $\displaystyle (1,\ f(t))$ , $\displaystyle (1,\ 0)$ 을 꼭짓점으로 하는 직사각형의 넓이를 $\displaystyle A_n(t)$ 라 하자. (단, $\displaystyle n$ 은 자연수이고 $\displaystyle 0<t<1$ 는 실수)Correction. 네 꼭짓점을 나열한 문장에서 ‘곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의’는 잘못 들어간 표현이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[2-1] 넓이 $\displaystyle A_n(t)$ 가 최대가 될 때 $\displaystyle t$ 의 값을 $\displaystyle t_n$ 이라 하고 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 두 직선 $\displaystyle y=0$ , $\displaystyle x=1$ 로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle B_n$ 이라 하자. 이 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{A_n(t_n)}{B_n}$ 의 값을 구하시오. (7점)

[2-2] 다음이 성립함을 논술하시오.(a) $\displaystyle 0<x\le1$ 을 만족시키는 실수 $\displaystyle x$ 와 임의의 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여, 부등식 $\displaystyle \frac{x}{n+1}<\ln\left(1+\frac{x}{n}\right)<\frac{x}{n}$ 이 성립함을 보이시오. (5점)(b) 임의의 자연수 $\displaystyle k$ 에 대하여 자연수 $\displaystyle m$ 이 $\displaystyle m>ke^{2k}$ 를 만족하면 $\displaystyle \frac{1}{e^{2k}}<\left(1-\frac{k}{m}\right)^m<\frac{1}{e^k}$ 가 성립함을 보이시오. (5점)(c) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x}=0$ 임을 보이시오. (3점)

[2-3] $\displaystyle x^n=1-x$ 를 만족하는 $\displaystyle x$ 를 $\displaystyle s_n$ 이라 하고 점 $\displaystyle (s_n,\ 0)$ , $\displaystyle (s_n,\ f(s_n))$ , $\displaystyle (1,\ f(s_n))$ , $\displaystyle (1,\ 0)$ 들을 꼭짓점으로 하는 정사각형의 면적을 $\displaystyle C_n$ 이라 하자. [2-2]를 참고하여 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{C_n}{B_n}$ 을 구하시오. (15점)Caution. [2-3]에는 $\displaystyle 0<s_n<1$ 이라는 조건이 필요하다. $\displaystyle n$ 이 짝수이면 $\displaystyle x^n=1-x$ 는 $\displaystyle -1$ 보다 작은 근도 가지며, 그 근을 택해도 제시된 네 점은 정사각형을 이룬다. 이때 $\displaystyle C_n/B_n=(n+1)(1-s_n)^2>4(n+1)$ 이므로 대학 예시답안의 극한값 $\displaystyle 0$ 은 성립하지 않는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

부산대 2019학년도 모의 의학계 2번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/pusan/2019mo/uihak_2

[2-2]

+5점 · (a) 부등식을 증명 할 수 있다.

(a) 양수 $\displaystyle u$ 에 대하여, $\displaystyle 0<t<u$ 이면 $\displaystyle \frac{1}{1+u}<\frac{1}{1+t}<1$ 이므로 양변을 $\displaystyle 0$ 부터 $\displaystyle u$ 까지 적분하면 $\displaystyle \frac{u}{1+u}<\int_0^u\frac{1}{1+t}\,dt=\ln(1+u)<u$ … ①①에서 $\displaystyle u=\frac{x}{n}$ 으로 놓으면 $\displaystyle \frac{x}{n+x}<\ln\left(1+\frac{x}{n}\right)<\frac{x}{n}$ . $\displaystyle 0<x\le1$ 이므로 $\displaystyle \frac{x}{n+1}\le\frac{x}{n+x}<\ln\left(1+\frac{x}{n}\right)<\frac{x}{n}$ .따라서 주어진 부등식이 성립한다.

+5점 · (b) 부등식을 증명 할 수 있다.

(b) $\displaystyle m>ke^{2k}>2k$ 이므로 $\displaystyle u=\frac{k}{m-k}$ 로 놓으면 $\displaystyle 0<u<1$ 이다.(a)에서 얻은 ①의 각 변에 $\displaystyle m$ 을 곱하면 $\displaystyle m\frac{u}{1+u}<m\ln(1+u)<mu$ .이때 $\displaystyle m\frac{u}{1+u}=k,\qquad mu=k(1+u)<2k$ 이므로 $\displaystyle k<m\ln(1+u)<2k$ .지수함수는 증가함수이므로 $\displaystyle e^k<(1+u)^m<e^{2k}$ .각 변의 역수를 취하고 $\displaystyle \frac{1}{1+u}=1-\frac{k}{m}$ 을 대입하면 $\displaystyle \frac{1}{e^{2k}}<\left(1-\frac{k}{m}\right)^m<\frac{1}{e^k}$ .

+3점 · (c) 극한을 구할 수 있다.

(c) ①에서 $\displaystyle u=e^t-1$ 로 놓으면, $\displaystyle t>0$ 일 때 $\displaystyle t=\ln\{1+(e^t-1)\}<e^t-1$ 이므로 $\displaystyle e^t>1+t$ 이다.이를 $\displaystyle 0$ 부터 $\displaystyle x$ 까지 적분하면, $\displaystyle x>0$ 일 때 $\displaystyle \begin{aligned}e^x-1&=\int_0^x e^t\,dt\\&>\int_0^x(1+t)\,dt\\&=x+\frac{x^2}{2}\end{aligned}$ 따라서 $\displaystyle e^x>\frac{x^2}{2}$ 이므로 $\displaystyle 0<\frac{x}{e^x}<\frac{2}{x}$ . $\displaystyle x\to\infty$ 일 때 $\displaystyle \frac{2}{x}\to0$ 이므로 샌드위치 정리에 의하여 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x}=0$ .

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