의학계 2번

(a) 양수 $\displaystyle u$에 대하여, $\displaystyle 0<t<u$이면$\displaystyle \frac{1}{1+u}<\frac{1}{1+t}<1$이므로 양변을 $\displaystyle 0$부터 $\displaystyle u$까지 적분하면$\displaystyle \frac{u}{1+u}<\int_0^u\frac{1}{1+t}\,dt=\ln(1+u)<u$ … ①①에서 $\displaystyle u=\frac{x}{n}$으로 놓으면$\displaystyle \frac{x}{n+x}<\ln\left(1+\frac{x}{n}\right)<\frac{x}{n}$.$\displaystyle 0<x\le1$이므로$\displaystyle \frac{x}{n+1}\le\frac{x}{n+x}<\ln\left(1+\frac{x}{n}\right)<\frac{x}{n}$.따라서 주어진 부등식이 성립한다.

(b) $\displaystyle m>ke^{2k}>2k$이므로$\displaystyle u=\frac{k}{m-k}$로 놓으면 $\displaystyle 0<u<1$이다.(a)에서 얻은 ①의 각 변에 $\displaystyle m$을 곱하면$\displaystyle m\frac{u}{1+u}<m\ln(1+u)<mu$.이때$\displaystyle m\frac{u}{1+u}=k,\qquad mu=k(1+u)<2k$이므로$\displaystyle k<m\ln(1+u)<2k$.지수함수는 증가함수이므로$\displaystyle e^k<(1+u)^m<e^{2k}$.각 변의 역수를 취하고 $\displaystyle \frac{1}{1+u}=1-\frac{k}{m}$을 대입하면$\displaystyle \frac{1}{e^{2k}}<\left(1-\frac{k}{m}\right)^m<\frac{1}{e^k}$.

(c) ①에서 $\displaystyle u=e^t-1$로 놓으면, $\displaystyle t>0$일 때$\displaystyle t=\ln\{1+(e^t-1)\}<e^t-1$이므로 $\displaystyle e^t>1+t$이다.이를 $\displaystyle 0$부터 $\displaystyle x$까지 적분하면, $\displaystyle x>0$일 때$\displaystyle \begin{aligned}e^x-1&=\int_0^x e^t\,dt\\&>\int_0^x(1+t)\,dt\\&=x+\frac{x^2}{2}\end{aligned}$따라서 $\displaystyle e^x>\frac{x^2}{2}$이므로$\displaystyle 0<\frac{x}{e^x}<\frac{2}{x}$.$\displaystyle x\to\infty$일 때 $\displaystyle \frac{2}{x}\to0$이므로 샌드위치 정리에 의하여$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x}=0$.