자연계열 2번

[2-1]오른쪽 그림과 같이 $\displaystyle \angle \mathrm{AOB}$의 이등분선과 호 $\displaystyle \mathrm{AB}$와 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{C}_{1}$, 정사각형과 선분 $\displaystyle \mathrm{OA}$의 교점을 $\displaystyle \mathrm{D}_{1}$, 정사각형의 대각선의 교점을 $\displaystyle \mathrm{M}_{1}$이라 하고 $\displaystyle a = l_{1} ( \theta )$라 하자. 그러면

따라서 $\displaystyle l_{1} ( \theta ) = a = \frac{{\sqrt{2} \tan \frac{\theta}{2}}}{1 + \tan \frac{\theta}{2}} = \frac{{\sqrt{2}}}{\cot \frac{\theta}{2} + 1}= \frac{{\sqrt{2} \sin \frac{\theta}{2}}}{\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2}}$이고 $\displaystyle l_{1} \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{{\sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2}$이다.

[2-2]오른쪽 그림과 같이 $\displaystyle \angle \mathrm{AOB}$의 이등분선과 정사각형의 교점 중 중심 $\displaystyle \mathrm{O}$에 가까운 점부터 차례로 $\displaystyle \mathrm{H}_{1}$과 $\displaystyle \mathrm{H}_{2}$, 정사각형의 두 대각선의 교점을 $\displaystyle \mathrm{M}_{2}$라 하자. 또, 정사각형이 호 $\displaystyle \mathrm{AB}$가 만나는 점 중 점 $\displaystyle \mathrm{A}$에 가까운 한 점을 $\displaystyle \mathrm{C}_{2}$, 선분 $\displaystyle \mathrm{OA}$와 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{D}_{2}$라 하고 $\displaystyle b = l_{2} ( \theta )$라 하자.

위의 식을 정리하면 $\displaystyle \left\{ l_{2} ( \theta ) \right\}^{2}= b^{2} = \frac{4}{\left( \cot \frac{\theta}{2} + 2 \right)^{2} + 1}= \frac{{4 \sin^{2} \frac{\theta}{2}}}{4 \sin^{2} \frac{\theta}{2} + 2 \sin \theta + 1}$이다.

그러므로 구하는 값은 $\displaystyle \left\{ l_{2} \left( \frac{\pi}{3} \right) \right\}^{2}= \frac{4}{3 + 4 \sqrt{3} + 5}= 2 - \sqrt{3}$이다.

[2-3][2-1], [2-2]에서 $\displaystyle \left\{ l_{1} \left( \frac{\pi}{3} \right) \right\}^{2} = \left\{ l_{2} \left( \frac{\pi}{3} \right) \right\}^{2} = 2 - \sqrt{3}$이므로 $\displaystyle \left\{ l_{1} ( \theta ) \right\}^{2} > \left\{ l_{2} ( \theta ) \right\}^{2}$인 $\displaystyle \theta$의 범위를 구하자.$\displaystyle \frac{{2}}{\left( \cot \frac{\theta}{2} + 1 \right)^{2}} > \frac{4}{\left( \cot \frac{\theta}{2} + 2 \right)^{2} + 1}$$\displaystyle \cot^{2} \frac{\theta}{2} + 4 \cot \frac{\theta}{2} + 5 > 2 \cot^{2} \frac{\theta}{2} + 4 \cot \frac{\theta}{2} + 2$위 식을 정리하면 $\displaystyle 0 \le \cot \frac{\theta}{2} < \sqrt{3}$이므로 만족하는 각 $\displaystyle \theta$의 범위는 $\displaystyle \frac{\pi}{3} < \theta \le \frac{\pi}{2}$이다.따라서 구하는 함수 $\displaystyle f ( \theta )$는$\displaystyle \begin{aligned}f(\theta)&=\begin{cases}\{l_2(\theta)\}^2&(0<\theta<\frac\pi3)\\\{l_1(\theta)\}^2&(\frac\pi3\le\theta\le\frac\pi2)\end{cases}=\begin{cases}\frac4{(\cot\frac\theta2+2)^2+1}&(0<\theta<\frac\pi3)\\\frac2{(\cot\frac\theta2+1)^2}&(\frac\pi3\le\theta\le\frac\pi2)\end{cases}\\&=\begin{cases}\frac{4\sin^2\frac\theta2}{4\sin^2\frac\theta2+2\sin\theta+1}&(0<\theta<\frac\pi3)\\\frac{2\sin^2\frac\theta2}{\sin\theta+1}&(\frac\pi3\le\theta\le\frac\pi2)\end{cases}\end{aligned}$이다.

(ⅰ) $\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{3}$에서 $\displaystyle f ( \theta ) = \left\{ l_{2} ( \theta ) \right\}^{2}$이므로 제시문 (가)에 의해$\displaystyle \lim_{\theta \to 0 +} \frac{{f ( \theta )}}{\theta^{2}}= \lim_{\theta \to 0 +} \frac{1}{\theta^{2}} \times \frac{{4 \sin^{2} \frac{{\theta}}{2}}}{4 \sin^{2} \frac{{\theta}}{2} + 2 \sin \theta + 1}= 1$

(ⅱ) $\displaystyle \frac\pi3\le\theta\le\frac\pi2$에서 $\displaystyle f(\theta)=\{l_1(\theta)\}^2$이므로$\displaystyle \int_{\frac\pi3}^{\frac\pi2}\frac{f(\theta)}{\sin^2\frac\theta2}d\theta=\int_{\frac\pi3}^{\frac\pi2}\frac{2\csc^2\frac\theta2}{(\cot\frac\theta2+1)^2}d\theta$$\displaystyle x = \cot \frac{\theta}{2}$로 치환하면 $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{3}$일 때 $\displaystyle x = \sqrt{3}$, $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{2}$일 때 $\displaystyle x = 1$이고$\displaystyle d x = - \frac{1}{2} \csc^{2} \frac{\theta}{2} d \theta$, $\displaystyle \csc^{2} \frac{\theta}{2} d \theta = - 2 d x$이므로 제시문 (나)에 의해 위의 식은$\displaystyle \int_{\sqrt3}^1\frac{-4}{(x+1)^2}dx=\int_1^{\sqrt3}\frac4{(x+1)^2}dx=\int_1^{\sqrt3}4(x+1)^{-2}dx=\Biggl[-\frac4{x+1}\Biggr]_1^{\sqrt3}=4-2\sqrt3$이다.그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $\displaystyle \left( \lim_{\theta \to 0 +} \frac{{f ( \theta )}}{\theta^{2}} \right) \times \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{{f ( \theta )}}{\sin^{2} \frac{\theta}{2}} d \theta= 4 - 2 \sqrt{3}$이다.