의학계 1번

삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 무게중심을 $\displaystyle \mathrm{G}$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{OG}}\perp(\text{평면}\mathrm{ABC})$, $\displaystyle \overline{\mathrm{OH}}\perp\overline{\mathrm{MC}}$이므로 삼수선의 정리에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{GH}}\perp\overline{\mathrm{MC}}$이다. 따라서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{GHC}$는 $\displaystyle \angle\mathrm{GHC}=\frac\pi2$인 직각삼각형이다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{M}$이 변 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 위를 움직일 때 점 $\displaystyle \mathrm{H}$가 나타내는 도형은 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 무게중심 $\displaystyle \mathrm{G}$에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{CG}}$를 지름으로 하는 원의 일부이다.

변 $\displaystyle \mathrm{AC}$와 변 $\displaystyle \mathrm{BC}$의 중점을 각각 $\displaystyle \mathrm{P}$와 $\displaystyle \mathrm{Q}$, 선분 $\displaystyle \mathrm{CG}$의 중점을 $\displaystyle \mathrm{N}$이라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{CG}}=\frac{4\sqrt3}3$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{CN}}=\frac{2\sqrt3}3$이다.부채꼴 $\displaystyle \mathrm{NPQ}$의 넓이는 $\displaystyle \frac12\left(\frac{2\sqrt3}3\right)^2\times\frac{2\pi}3=\frac{4\pi}9$이고,삼각형 $\displaystyle \mathrm{NPC}$와 삼각형 $\displaystyle \mathrm{NQC}$의 넓이는 모두 $\displaystyle \frac12\left(\frac{2\sqrt3}3\right)^2\sin\left(\frac{2\pi}3\right)=\frac{\sqrt3}3$이다.따라서 점 $\displaystyle \mathrm{H}$가 나타내는 도형과 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 두 변 $\displaystyle \mathrm{AC}$, $\displaystyle \mathrm{BC}$로 둘러싸인 영역의 넓이 $\displaystyle S=\frac{4\pi}9+\frac{2\sqrt3}3$이다.

피타고라스 정리에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{OM}}=\overline{\mathrm{CM}}=\sqrt{13}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{OH}}=\frac{12}{\sqrt{13}}$이므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OMC}$의 넓이는 $\displaystyle 6$이다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$의 무게중심을 $\displaystyle \mathrm{G}^{\prime}$라 하면 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OMC}$의 평면 $\displaystyle \mathrm{OAB}$ 위로의 정사영은 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OMG}^{\prime}$가 된다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OMG}^{\prime}$의 넓이는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$의 넓이의 $\displaystyle \frac16$이므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OMG}^{\prime}$의 넓이는 $\displaystyle 4\sqrt3\times\frac16=\frac{2\sqrt3}3$이다. 따라서 평면 $\displaystyle \mathrm{OMC}$와 평면 $\displaystyle \mathrm{OAB}$가 이루는 각을 $\displaystyle \theta$라고 하면 $\displaystyle \cos\theta=\frac{\triangle\mathrm{OMG}^{\prime}}{\triangle\mathrm{OMC}}=\frac{\left(\frac{2\sqrt3}3\right)}6=\frac{\sqrt3}9$이다.

한편, 피타고라스 정리에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{HC}}=\frac8{\sqrt{13}}$이므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OHC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac12\times\frac8{\sqrt{13}}\times\frac{12}{\sqrt{13}}=\frac{48}{13}$이다.

그러므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OHC}$의 평면 $\displaystyle \mathrm{OAB}$ 위로 정사영의 넓이는$\displaystyle S=\frac{48}{13}\times\cos\theta=\frac{48}{13}\times\frac{\sqrt3}9=\frac{16\sqrt3}{39}$이다.