자연계열 3번

① 한 개의 동전을 $\displaystyle 4$번, 다른 한 개의 동전을 $\displaystyle 1$번 뒤집는다.$\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{1} \times{}_{3}\mathrm{C}_{1} \times \frac{{5 !}}{4 !} = 4 \times 3 \times 5 = 60$

② 두 개의 동전을 각각 $\displaystyle 2$번, 다른 한 개의 동전을 $\displaystyle 1$번 뒤집는다.$\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{2} \times{}_{2}\mathrm{C}_{1} \times \frac{{5 !}}{2 ! 2 !} = 360$

③ 한 개의 동전을 $\displaystyle 2$번, 다른 한 개의 동전을 $\displaystyle 3$번 뒤집는다.$\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{1} \times{}_{3}\mathrm{C}_{1} \times \frac{{5 !}}{2 ! 3 !} = 120$

④ 한 개의 동전을 $\displaystyle 5$번 뒤집는다.$\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{1} = 4$

그러므로$\displaystyle \frac{{60 + 360 + 120 + 4}}{4^{5}} = \frac{{544}}{1024} = \frac{{17}}{32}$이다.

② 앞면이 $\displaystyle 1$개, 뒷면이 $\displaystyle 4$개인 경우, 즉 $\displaystyle X = 3$인 경우:$\displaystyle 5$개중에 $\displaystyle 4$개를 한 번씩 뒤집는 경우이므로 $\displaystyle {}_{5}\mathrm{C}_{4} \times 4 ! = 120$∴ $\displaystyle \mathrm{P} \left( X = 3 \right) = \frac{{120}}{625} = \frac{{24}}{125}$

③ 앞면이 $\displaystyle 3$개, 뒷면이 $\displaystyle 2$개인 경우, 즉 $\displaystyle X = 1$인 경우(ⅰ) 한 개는 두 번 뒤집고 나머지 중 2개를 한 번씩 뒤집는 경우의 수$\displaystyle {}_{5}\mathrm{C}_{1} \times{}_{4}\mathrm{C}_{2} \times \frac{{4 !}}{2 !} = 5 \times 6 \times 12 = 360$(ⅱ) 한 개는 세 번 뒤집고 나머지 중 $\displaystyle 1$개를 한 번 뒤집는 경우의 수$\displaystyle {}_{5}\mathrm{C}_{1} \times{}_{4}\mathrm{C}_{1} \times \frac{{4 !}}{3 !} = 5 \times 4 \times 4 = 80$그러므로 $\displaystyle \mathrm{P} \left( X = 1 \right) = \frac{{440}}{625} = \frac{{88}}{125}$이다.

④ 앞면이 $\displaystyle 5$개, 뒷면이 $\displaystyle 0$개인 경우, 즉 $\displaystyle X = 5$인 경우(ⅰ) 한 개를 네 번 뒤집는 경우의 수 $\displaystyle {}_{5}\mathrm{C}_{1} = 5$(ⅱ) 두 개를 두 번씩 뒤집는 경우의 수 $\displaystyle {}_{5}\mathrm{C}_{2} \times \frac{{4 !}}{2 ! 2 !} = 10 \times 6 = 60$∴ $\displaystyle \mathrm{P} \left( X = 5 \right) = \frac{{65}}{625} = \frac{{13}}{125}$

그러므로