자연계열 3번

부산대 2019학년도 모의 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/pusan/2019mo/jayeon_3

【문항 3】다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) 표본공간이 $\displaystyle S$ 인 어떤 시행에서 각 결과가 일어날 가능성이 모두 같은 정도로 기대될 때, 사건 $\displaystyle A$ 가 일어날 확률 $\displaystyle \mathrm{P} ( A )$ 를 $\displaystyle \mathrm{P} ( A )= \frac{n(A)}{n(S)}$ 로 정의하고, 이것을 표본공간 $\displaystyle S$ 에서 사건 $\displaystyle A$ 가 일어날 수학적 확률이라고 한다.

(나) 확률변수 $\displaystyle X$ 의 확률질량함수가 $\displaystyle \mathrm{P} ( X = x_{i} ) = p_{i}$ $\displaystyle ( i = 1$ , $\displaystyle 2$ , $\displaystyle \cdots$ , $\displaystyle n )$ 일 때, $\displaystyle X$ 의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

$X$	$x_1$	$x_2$	⋯	$x_n$	합계
$P(X=x_i)$	$p_1$	$p_2$	⋯	$p_n$	1

이때 $\displaystyle x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \cdots + x_{n} p_{n} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} p_{i}$ 를 확률변수 $\displaystyle X$ 의 기댓값 또는 평균이라고 하며, 이것을 기호로 $\displaystyle {{\mathrm{E} ( X )}}$ 와 같이 나타낸다. 확률변수 $\displaystyle X$ 의 기댓값 $\displaystyle \mathrm{E} ( X )$ 를 $\displaystyle m$ 이라고 할 때, 편차 $\displaystyle X - m$ 의 제곱의 평균 $\displaystyle \mathrm{E} ( ( X - m )^{2} )= \sum_{i = 1}^{n} ( x_{i} - m )^{2} p_{i}$ 를 확률변수 $\displaystyle X$ 의 분산이라고 하며, 이것을 기호로 $\displaystyle {{\mathrm{V} ( X )}}$ 와 같이 나타낸다. 또한 $\displaystyle X$ 의 분산은 $\displaystyle \mathrm{E} \left( X^{2} \right) - \left\{ \mathrm{E} \left( X \right) \right\}^{2}$ 과 같이 구하면 편리하다.

$\displaystyle n$ 개의 동전을 테이블 위에 올려두고 뒤집기를 하려고 한다. 한 번에 한 개의 동전을 임의로 선택하여 뒤집기를 하며, 뒤집기를 할 때마다 앞면으로 놓인 동전은 뒷면으로, 뒷면으로 놓인 동전은 앞면으로 놓이게 한다. 한 번 선택한 동전을 다음번에 다시 선택할 수 있다.

[3-1] 테이블 위에 $\displaystyle 4$ 개의 동전이 앞면으로 놓여있다. $\displaystyle 5$ 번의 뒤집기를 한 후 앞면으로 놓인 동전의 개수가 $\displaystyle 3$ 일 확률을 구하시오. (10점)

[3-2] 테이블 위에 $\displaystyle 5$ 개의 동전이 앞면으로 놓여있다. $\displaystyle 4$ 번의 뒤집기를 한 후 앞면으로 놓인 동전과 뒷면으로 놓인 동전의 개수의 차를 확률변수 $\displaystyle X$ 라 할 때, 분산 $\displaystyle \mathrm{V} \left( X \right)$ 를 구하시오. (20점)

해설강의 준비중

부산대 2019학년도 모의 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/pusan/2019mo/jayeon_3

[3-1]한 번 뒤집기를 할 때마다 $\displaystyle 4$ 개의 동전 중에 하나를 뒤집어야 하므로 전체 경우의 수는 $\displaystyle 4^{5}$ 이다. 한 개의 동전을 짝수( $\displaystyle 0$ 포함) 번 뒤집으면 앞면인 상태가 유지되고, 홀수 번 뒤집으면 뒷면이 된다. 그러므로 앞면이 $\displaystyle 3$ 개, 뒷면이 $\displaystyle 1$ 개 나오는 경우는 다음과 같다.

+2점 · 한 개의 동전을

\displaystyle 4

번, 다른 한 개의 동전을

\displaystyle 1

번 뒤집는 경우의 수를 구할 수 있다.

① 한 개의 동전을 $\displaystyle 4$ 번, 다른 한 개의 동전을 $\displaystyle 1$ 번 뒤집는다. $\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{1} \times{}_{3}\mathrm{C}_{1} \times \frac{{5 !}}{4 !} = 4 \times 3 \times 5 = 60$

+2점 · 두 개의 동전을 각각

\displaystyle 2

번, 다른 한 개의 동전을

\displaystyle 1

번 뒤집는 경우의 수를 구할 수 있다.

② 두 개의 동전을 각각 $\displaystyle 2$ 번, 다른 한 개의 동전을 $\displaystyle 1$ 번 뒤집는다. $\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{2} \times{}_{2}\mathrm{C}_{1} \times \frac{{5 !}}{2 ! 2 !} = 360$

+2점 · 한 개의 동전을

\displaystyle 2

번, 다른 한 개의 동전을

\displaystyle 3

번 뒤집는 경우의 수를 구할 수 있다.

③ 한 개의 동전을 $\displaystyle 2$ 번, 다른 한 개의 동전을 $\displaystyle 3$ 번 뒤집는다. $\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{1} \times{}_{3}\mathrm{C}_{1} \times \frac{{5 !}}{2 ! 3 !} = 120$

+2점 · 한 개의 동전을

\displaystyle 5

번 뒤집는 경우의 수를 구할 수 있다

④ 한 개의 동전을 $\displaystyle 5$ 번 뒤집는다. $\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{1} = 4$

+2점 · 전체 확률을 구할 수 있다.

그러므로 $\displaystyle \frac{{60 + 360 + 120 + 4}}{4^{5}} = \frac{{544}}{1024} = \frac{{17}}{32}$ 이다.

[3-2]전체 경우의 수 $\displaystyle 5^{4} = 625$ ① 한 개의 동전을 짝수( $\displaystyle 0$ 포함) 번 뒤집으면 앞면인 상태가 유지되고, 홀수 번 뒤집으면 뒷면이 된다. 4번의 뒤집기를 하므로 앞면이 $\displaystyle 0$ 개, $\displaystyle 2$ 개, $\displaystyle 4$ 개인 경우는 없다.

+5점 ·

\displaystyle X = 3

인 경우의 확률을 구할 수 있다.

② 앞면이 $\displaystyle 1$ 개, 뒷면이 $\displaystyle 4$ 개인 경우, 즉 $\displaystyle X = 3$ 인 경우: $\displaystyle 5$ 개중에 $\displaystyle 4$ 개를 한 번씩 뒤집는 경우이므로 $\displaystyle {}_{5}\mathrm{C}_{4} \times 4 ! = 120$ ∴ $\displaystyle \mathrm{P} \left( X = 3 \right) = \frac{{120}}{625} = \frac{{24}}{125}$

+5점 ·

\displaystyle X = 1

인 경우의 확률을 구할 수 있다.

③ 앞면이 $\displaystyle 3$ 개, 뒷면이 $\displaystyle 2$ 개인 경우, 즉 $\displaystyle X = 1$ 인 경우(ⅰ) 한 개는 두 번 뒤집고 나머지 중 2개를 한 번씩 뒤집는 경우의 수 $\displaystyle {}_{5}\mathrm{C}_{1} \times{}_{4}\mathrm{C}_{2} \times \frac{{4 !}}{2 !} = 5 \times 6 \times 12 = 360$ (ⅱ) 한 개는 세 번 뒤집고 나머지 중 $\displaystyle 1$ 개를 한 번 뒤집는 경우의 수 $\displaystyle {}_{5}\mathrm{C}_{1} \times{}_{4}\mathrm{C}_{1} \times \frac{{4 !}}{3 !} = 5 \times 4 \times 4 = 80$ 그러므로 $\displaystyle \mathrm{P} \left( X = 1 \right) = \frac{{440}}{625} = \frac{{88}}{125}$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle X=5

인 경우의 확률을 구할 수 있다.

④ 앞면이 $\displaystyle 5$ 개, 뒷면이 $\displaystyle 0$ 개인 경우, 즉 $\displaystyle X = 5$ 인 경우(ⅰ) 한 개를 네 번 뒤집는 경우의 수 $\displaystyle {}_{5}\mathrm{C}_{1} = 5$ (ⅱ) 두 개를 두 번씩 뒤집는 경우의 수 $\displaystyle {}_{5}\mathrm{C}_{2} \times \frac{{4 !}}{2 ! 2 !} = 10 \times 6 = 60$ ∴ $\displaystyle \mathrm{P} \left( X = 5 \right) = \frac{{65}}{625} = \frac{{13}}{125}$

+5점 · 확률변수

\displaystyle X

의 분산을 구할 수 있다.

그러므로

$X$	1	3	5	계
$\mathrm P(X=x)$	$\frac{88}{125}$	$\frac{24}{125}$	$\frac{13}{125}$	1

$\displaystyle \mathrm{E} \left( X \right) = \frac{{1 \times 88 + 3 \times 24 + 5 \times 13}}{125} = \frac{{225}}{125} = \frac{{9}}{5}$ $\displaystyle \mathrm{V} \left( X \right) = \frac{{1^{2} \times 88 + 3^{2} \times 24 + 5^{2} \times 13}}{125} - \left( \frac{{9}}{5} \right)^{2} = \frac{{629 - 405}}{125} = \frac{{224}}{125}$ 이다.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.

자연계열 3번

문제

첨삭 사례

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개