의학계 3번

부산대 2019학년도 모의 의학계 3번 · mathesis.kr/archive/pusan/2019mo/uihak_3

[문항 3] 다음 제시문을 근거로 하여 아래 논제에 답하시오.

(가) 서로 다른 $\displaystyle n$ 개에서 $\displaystyle r$ 개를 택하는 조합의 수는 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$ (단, $\displaystyle 0\le r\le n$ )

(나) 어떤 시행에서 사건 $\displaystyle A$ 가 일어날 확률이 $\displaystyle p$ 일 때, 이 시행을 $\displaystyle n$ 회 반복하는 독립시행에서 사건 $\displaystyle A$ 가 $\displaystyle r$ 회 일어날 확률은 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{r}p^r(1-p)^{n-r}$ (단, $\displaystyle r=0,1,\ldots,n$ )

(다) 두 사건 $\displaystyle A , B$ 가 서로 배반사건이면, $\displaystyle {\mathrm{P}} ( A \cup B ) = {\mathrm{P}} ( A ) + {\mathrm{P}} ( B )$

(라) 두 사건 $\displaystyle A , B$ 가 서로 독립사건이면, $\displaystyle {\mathrm{P}} ( A \cap B ) = {\mathrm{P}} ( A ) {\mathrm{P}} ( B )$

동전 한 개를 반복하여 던져서 앞면이 나오면 바둑돌을 오른쪽으로 $\displaystyle 1$ 칸, 뒷면이 나오면 바둑돌을 오른쪽으로 $\displaystyle 2$ 칸 이동하는 시행을 한다. 아래 그림처럼 시작 지점 $\displaystyle \mathrm{S}$ 에서 출발하여 $\displaystyle 50$ 개의 칸을 지나서 마지막 지점 $\displaystyle \mathrm{F}$ 에 도착하였다고 하자. 그리고 $\displaystyle 5$ 의 배수에 해당되는 $\displaystyle 10$ 개의 칸은 모두 검정색 칸이다. (단, 동전의 앞면과 뒷면의 결과에 따라 정확하게 $\displaystyle \mathrm{F}$ 에 도착하였다고 가정한다.)

[3-1] 시작 지점 $\displaystyle \mathrm{S}$ 에서 출발하여 마지막 지점 $\displaystyle \mathrm{F}$ 에 도착할 때까지 바둑돌이 검정색 칸 위에 있었던 횟수가 $\displaystyle 1$ 회일 확률은 $\displaystyle \frac{{3 \times 5^{7} \times 11 \times p}}{2^{39}}$ 이다. 이때 $\displaystyle p$ 를 구하시오. (15점)

[3-2] 시작 지점 $\displaystyle \mathrm{S}$ 에서 출발하여 마지막 지점 $\displaystyle \mathrm{F}$ 에 도착할 때까지 바둑돌이 검정색 칸 위에 있었던 횟수는 총 $\displaystyle 2$ 회였고 인접한 검정색 칸에는 이동하지 않았다고 하자. 예를 들면, $\displaystyle 10$ 번째 검정색 칸 위에 있었다면 $\displaystyle 5$ 번째와 $\displaystyle 15$ 번째 검정색 칸 위에는 있지 않았다. 이러한 조건을 만족하면서 시작 지점 $\displaystyle \mathrm{S}$ 에서 출발하여 마지막 지점 $\displaystyle \mathrm{F}$ 에 도착하는 경우의 수는 $\displaystyle 2 \times 3^{6} \times 5^{2} \times q$ 이다. 이때 $\displaystyle q$ 를 구하시오. (20점)

해설강의 준비중

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[3-1]

	S 또는 검정색		검정색
사건 $A$	(출발)		(도착)
사건 $B$	(출발)		(건너뜀)	(도착)
사건 $C$		(출발)	(도착)
사건 $D$		(출발)	(건너뜀)	(도착)

위의 표처럼 사건 $\displaystyle A, B, C, D$ 를 정의한다. 예를 들면 사건 $\displaystyle A$ 는 바둑돌이 S 또는 검정색 칸에서 출발하여 바로 다음에 나오는 검정색 칸에 도착하는 사건이고 사건 $\displaystyle D$ 는 바둑돌이 S 또는 검정색 칸 바로 다음 칸에서 출발하여 바로 앞에 나오는 검정색 칸을 건너뛰어서 그 다음 칸으로 이동하는 사건이다.사건 $\displaystyle A$ 가 발생할 확률은 앞면이 5회 연속으로 나오거나, 앞면 3회 뒷면 1회 나오거나, 앞면 1회 뒷면 2회 나올 경우이므로 제시문 (나)와 (다)에 의해서 $\displaystyle p_{A} = \left( \frac{1}{2} \right)^{5} +{}_{4} {\mathrm{C}}_{1} \left( \frac{1}{2} \right)^{4} +{}_{3} {\mathrm{C}}_{1} \left( \frac{1}{2} \right)^{3} = \frac{{3 \times 7}}{2^{5}}$

사건 $\displaystyle B$ 가 발생하기 위해서는 앞면이 4회 연속으로 나온 후 뒷면이 나오거나, 앞면이 2회 뒷면이 1회 나온 후 마지막에 뒷면이 나오거나 또는 뒷면이 3회 연속으로 나와야 한다. 제시문 (나)와 (다)에 의해서 사건 $\displaystyle B$ 가 발생할 확률은 $\displaystyle p_{B} = \left( \frac{1}{2} \right)^{5} +{}_{3} {\mathrm{C}}_{1} \left( \frac{1}{2} \right)^{4} + \left( \frac{1}{2} \right)^{3} = \frac{11}{2^{5}}$

마찬가지로 사건 $\displaystyle C$ 와 $\displaystyle D$ 가 발생할 확률은 각각 다음과 같다. $\displaystyle p_{C} = \left( \frac{1}{2} \right)^{4} +{}_{3}\mathrm{C}_{1} \left( \frac{1}{2} \right)^{3} + \left( \frac{1}{2} \right)^{2} = \frac{11}{2^{4}}$ , $\displaystyle p_{D} = \left( \frac{1}{2} \right)^{4} +{}_{2}\mathrm{C}_{1} \left( \frac{1}{2} \right)^{3} = \frac{5}{2^{4}}$

+5점 · 검정색 칸

\displaystyle 5

에 이동한 후 F에 도착할 확률을 구할 수 있다.

1) 검정색 칸 $\displaystyle 5$ 에 이동한 후 F에 도착할 확률사건 $\displaystyle A$ 가 처음 발생하고 이어서 사건 $\displaystyle B$ 가 발생한 후 사건 $\displaystyle D$ 가 연속으로 8회 발생해야 하므로 제시문 (라)에 의해서 $\displaystyle p_1=p_Ap_B(p_D)^8=\frac{3\times5^8\times7\times11}{2^{42}}$

+5점 · 검정색 칸

\displaystyle 50

에 이동한 후 F에 도착할 확률을 구할 수 있다.

2) 검정색 칸 $\displaystyle 50$ 에 이동한 후 F에 도착할 확률사건 $\displaystyle B$ 가 처음 발생하고 이어서 사건 $\displaystyle D$ 가 연속으로 8회 발생한 후 이어서 사건 $\displaystyle C$ 가 발생해야 한다. 그리고 마지막으로 동전의 앞면이 나와야 하므로 제시문 (라)에 의해서 $\displaystyle p_2=p_B(p_D)^8p_C\times\frac12=\frac{5^8\times11^2}{2^{42}}$

+5점 · 검정색 칸

\displaystyle 10

부터

\displaystyle 45

중 한 곳에 이동한 후 F에 도착할 확률을 구할 수 있다.

3) 검정색 칸 $\displaystyle 10$ 부터 $\displaystyle 45$ 중 한 곳에 이동한 후 F에 도착할 확률총 8가지 경우로 사건 $\displaystyle B$ 가 처음 발생하고 사건 $\displaystyle C$ 가 1회, 사건 $\displaystyle B$ 가 1회, 사건 $\displaystyle D$ 가 7회 발생해야 하므로 제시문 (라)에 의해서 $\displaystyle p_3=8p_Bp_Cp_B(p_D)^7=\frac{2^3\times5^7\times11^3}{2^{42}}$

바둑돌이 시작 지점 S에서 출발하여 마지막 지점 F에 도착할 때까지 검정색 칸 위에 있었던 횟수가 1회일 확률은 제시문 (다)에 의해서 $\displaystyle p_1+p_2+p_3=\frac{2^3\times3\times5^7\times11\times47}{2^{42}}=\frac{3\times5^7\times11\times47}{2^{39}}$

그러므로 $\displaystyle p=47$ 이다.

[3-2]

위의 예시처럼 사건 $\displaystyle A$ 가 일어날 경우의 수는 8, 사건 $\displaystyle B$ 가 일어날 경우의 수는 5, 사건 $\displaystyle C$ 가 일어날 경우의 수는 5, 그리고 사건 $\displaystyle D$ 가 일어날 경우의 수는 3이다.

+5점 · 검정색 칸

\displaystyle 5

와

\displaystyle 50

에 이동한 후 F에 도착할 경우의 수를 구할 수 있다.

1) 검정색 칸 $\displaystyle 5$ 와 $\displaystyle 50$ 에 이동한 후 F에 도착할 경우사건 $\displaystyle A$ 가 처음 발생한 후 사건 $\displaystyle B$ 가 발생하고 사건 $\displaystyle D$ 가 7회 연속으로 발생한 후 마지막으로 사건 $\displaystyle C$ 가 발생해야 한다. 이러한 경우는 수는 제시문 (라)에 의해서 $\displaystyle h_1=AB(D)^7C=8\times5\times3^7\times5=2^3\times3^7\times5^2$

+5점 · 검정색 칸

\displaystyle 5

와

\displaystyle 15

부터

\displaystyle 45

중 한 곳에 이동한 후 F에 도착할 경우의 수를 구할 수 있다.

2) 검정색 칸 $\displaystyle 5$ 와 $\displaystyle 15$ 부터 $\displaystyle 45$ 중 한 곳에 이동한 후 F에 도착할 경우총 7가지 경우로 사건 $\displaystyle A$ 가 처음 발생한 후 사건 $\displaystyle B$ 가 발생해야 하며 사건 $\displaystyle C$ 가 1회, 사건 $\displaystyle B$ 가 1회, 사건 $\displaystyle D$ 가 6회 발생해야 한다. 이러한 경우는 수는 제시문 (라)에 의해서 $\displaystyle h_2=7ABCB(D)^6=7\times8\times5\times5\times5\times3^6=2^3\times3^6\times5^3\times7$

+5점 · 검정색 칸

\displaystyle 10

부터

\displaystyle 40

중 한 곳과

\displaystyle 50

에 이동한 후 F에 도착할 경우의 수를 구할 수 있다.

3) 검정색 칸 $\displaystyle 10$ 부터 $\displaystyle 40$ 중 한 곳과 $\displaystyle 50$ 에 이동한 후 F에 도착할 경우총 7가지 경우로 사건 $\displaystyle B$ 가 처음 발생한 후 사건 $\displaystyle C$ 가 1회, 사건 $\displaystyle B$ 가 1회, 사건 $\displaystyle D$ 가 6회 발생한 후 마지막으로 사건 $\displaystyle C$ 가 발생해야 한다. 이러한 경우는 수는 제시문 (라)에 의해서 $\displaystyle h_3=7BCB(D)^6C=7\times5\times5\times5\times3^6\times5=3^6\times5^4\times7$

+5점 · 검정색 칸

\displaystyle 10

부터

\displaystyle 45

중 인접하지 않는 두 곳에 이동한 후 F에 도착할 경우의 수를 구할 수 있다.

4) 검정색 칸 $\displaystyle 10$ 부터 $\displaystyle 45$ 중 인접하지 않는 두 곳에 이동한 후 F에 도착할 경우총 8칸 중 2곳을 선택한 후 인접한 두 곳이 선택된 7개의 경우를 제외하면 제시문 (가)에 의해서 $\displaystyle {}_{8}\mathrm{C}_{2}-7=21$ 가지의 경우로 사건 $\displaystyle B$ 가 처음 발생하고 사건 $\displaystyle C$ 와 $\displaystyle B$ 가 각각 2회씩 발생해야 하며 사건 $\displaystyle D$ 가 5회 발생해야 한다. 이러한 경우는 수는 제시문 (라)에 의해서 $\displaystyle h_4=21B(C)^2(B)^2(D)^5=21\times5\times5^2\times5^2\times3^5=3^6\times5^5\times7$

모든 경우의 수는 제시문 (다)에 의해서 $\displaystyle h_1+h_2+h_3+h_4=2^33^75^2+2^33^65^37+3^65^47+3^65^57=2\times3^6\times5^2\times677$

그러므로 $\displaystyle q=677$ 이다.

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