자연계열 1번

$\displaystyle ( 1 , 3 )$에 속하는 임의의 $\displaystyle x$에 대하여 평균값의 정리를 사용하면$\displaystyle \frac{{f ( x ) - f ( 1 )}}{x - 1} = f^{\prime} ( c )$인 $\displaystyle c$가 존재한다.

$\displaystyle f ( 1 ) = 0$ 이므로 $\displaystyle f ( x ) = f^{\prime} ( c ) ( x - 1 )$$\displaystyle 3 \leq f^{\prime} ( c ) \leq 7$이고 $\displaystyle x - 1 > 0$이므로$\displaystyle 3 ( x - 1 ) \leq f^{\prime} ( c ) ( x - 1 ) \leq 7 ( x - 1 )$

$\displaystyle \int_{1}^{3} {3 ( x - 1 ) d x \leq \int_{1}^{3} {f ( x ) d x \leq \int_{1}^{3} {7 ( x - 1 ) d x}}}$$\displaystyle 6 \leq \int_{1}^{3} {f ( x ) d x \leq 14}$$\displaystyle a$의 최댓값 $\displaystyle 6$, $\displaystyle b$의 최솟값 $\displaystyle 14$

$\displaystyle f(x)=|x^2+x-2|$의 그래프를 그려보자$\displaystyle x=-\frac12$에서 최대이다.

범위로 나누어 생각하면 ($\displaystyle t \leq - \frac{{3}}{2}$, $\displaystyle - \frac{{3}}{2} \leq t \leq - \frac{{1}}{2}$,$\displaystyle - \frac{{1}}{2} \leq t \leq 0$)

ⅰ) $\displaystyle t + 1 \leq - \frac{{1}}{2}$일 때 즉 $\displaystyle t \leq - \frac{{3}}{2}$$\displaystyle f ( x )$는 증가함수이므로 $\displaystyle g ( t ) = f ( t + 1 )$ⅱ) $\displaystyle t \leq - \frac{{1}}{2} \leq t + 1$일 때 즉 $\displaystyle - \frac{{3}}{2} \leq t \leq - \frac{{1}}{2}$$\displaystyle g ( t ) = f ( - \frac{{1}}{2} ) = \frac{{9}}{4}$ⅲ) $\displaystyle t \geq - \frac{{1}}{2}$이고 $\displaystyle t + 1 \leq 1$ 일 때, 즉 $\displaystyle - \frac{{1}}{2} \leq t \leq 0$$\displaystyle f ( x )$는 감소함수이므로 $\displaystyle g ( t ) = f ( t )$

$\displaystyle \begin{aligned}S&=\int_{-2}^{-\frac32}f(t+1)dt+\int_{-\frac32}^{-\frac12}\frac94dt+\int_{-\frac12}^0f(t)dt\\&=\int_{-1}^{-\frac12}f(t)dt+\frac94+\int_{-\frac12}^0f(t)dt=\int_{-1}^0f(t)dt+\frac94=\int_{-1}^0(-t^2-t+2)dt+\frac94=\frac{53}{12}\end{aligned}$